Der Perfekte Euler-Ziegel

26/11/2014 - 16:28 von J | Report spam
Warum es keinen perfekten Euler-Ziegel geben kann

Der Euler-Ziegel ist ein Quader, bei dem die Làngen aller Seiten und
aller Flàchendiagonalen (extern) natürliche Zahlen sind. Bei einem
perfekten Euler-Ziegel wàre auch die Raumdiagonale (intern) eine
natürliche Zahl. Bis heute ist es unbekannt, ob es einen solchen Ziegel
gibt und wenn nicht, warum er nicht existiert. Mit Computern sind
ausführliche Suchen ohne Ergebnis unternommen worden [1]. Ich glaube
begründen zu können, warum das Suchen weiterhin erfolglos bleiben wird.

Ein Pythagoràisches Tripel (PT) besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b
und c für die gilt:
a² + b² = c².
Die PT mit einem größten gemeinsamen Teiler 1, die primitiven
Pythagoràischen Tripel (pPT), sind hier primàr von Interesse.

Theorem 1: In jedem pPT ABC ist eine der Katheten A oder B gerade, die
andere ungerade. Die Hypotenuse C ist immer ungerade.

Theorem 2: Jedes PT kann auf genau eine Weise durch Multiplikation eines
pPT mit einer natürlichen Zahl gebildet werden.

Behauptung 1: Es kann keine Lösung für einen Euler-Ziegel allein in den
pPT geben. Man stelle sich einen Ziegel mit der Höhe A, Breite B und
Tiefe C vor. Die Flàchendiagonalen (extern) sind die Hypotenusen
D (Vorder- und Rückseite; Katheten Breite und Höhe) im Dreieck ABD
E (Ober- und Unterseite; Katheten Breite und Tiefe) im Dreieck BCE
F (linke und rechte Seite; Katheten Höhe und Tiefe) im Dreieck ACF
sowie die Raumdiagonale (intern) als Hypotenuse
G in den drei Dreiecken AEG, CDG und BFG

Wenn nun A gerade ist, muss B für ein Dreieck ABD aus den pPT ungerade
sein. Wenn B ungerade ist, muss C für ein Dreieck BCE aus den pPT
wiederum gerade sein. Jetzt sind jedoch A und C beide gerade und es gibt
daher kein Dreieck ACF aus den pPT. Welche der Seiten A, B oder C man
auch immer zunàchst gerade oder ungerade wàhlt, zum Schluss wird immer
ein Dreieck und seine Flàchendiagonale übrig bleiben, die allein in den
pPT unmöglich sind.

Weiterhin haben die drei Dreiecke, deren Hypotenuse die Raumdiagonale G
ist, jeweils eine Kathete aus den Seiten des Ziegels und eine Kathete
aus den (externen) Flàchendiagonalen. Letztere sind nach Theorem 1 immer
ungerade, weshalb alle Seiten dann gerade sein müssten, was jeder zuvor
gemachten Annahme widerspricht. Ein angenommener perfekter Euler-Ziegel
in den PT ist also kein Vielfaches eines solchen in den pPT, da
letzterer nicht existiert.

Theorem 3: Die Quadratwurzel einer Zahl ist entweder eine natürliche
Zahl, oder eine irrationale Zahl, also eine Zahl, die nicht als
einfacher Bruch dargestellt werden kann.

Behauptung 2: Wenn es keine Lösung für einen perfekten Euler-Ziegel in
den pPT gibt, gibt es auch keine in den PT, da sie ein Vielfaches einer
Lösung mit einer Seitenlànge aus den irrationalen Zahlen sein müsste.
Kein Produkt einer irrationalen Zahl und einer natürlichen Zahl ist eine
natürliche Zahl.

Schlussfolgerung: Es gibt keinen perfekten Euler-Ziegel.

http://www.pmbits.de/media//DIR_434...ffffef.png

*****
Ich bitte um Kritik oder Hinweise, warum ich Unrecht habe.

Jürgen
 

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#1 Carlos Naplos
26/11/2014 - 18:49 | Warnen spam
Jürgen Buchmüller schrieb am 26.11.2014 um 16:28:
Warum es keinen perfekten Euler-Ziegel geben kann

Der Euler-Ziegel ist ein Quader, bei dem die Làngen aller Seiten und



Was verstehst Du unter der Lànge eines Rechtecks?

Gruß
CN

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