Der Totentanz der Mengenlehre

18/07/2012 - 08:52 von WM | Report spam
Der Totentanz der Mengenlehre

Das Vollendetunendliche führt nicht nur auf so merkwürdige Aussagen
wie die, dass das Unendliche vollendet ist oder dass genau so viele
Brüche wie natürliche Zahlen existieren, obwohl zwischen zwei
natürlichen Zahlen immer unendlich viele Brüche liegen, sondern auch
zum Paradoxon des Tristram Shandy [5], das Adolf Fraenkel zur
Erlàuterung der Mengenlehre erzàhlt [6]: "Bekannt ist so die
Geschichte von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte
zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der
ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird
natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfàhrt.
Würde er indes unendlich lang leben (etwa 'abzàhlbar unendlichviele'
Jahre), so würde seine Biographie 'fertig', es würde dann nàmlich
jeder noch so spàte Tag seines Lebens schließlich eine Schilderung
bekommen."

Tristram Shandy borgt sich also Zeit, um die bereits verbrauchte Zeit
aufzuarbeiten. (Parallelen zu modernen Finanzierungssystemen sind
unübersehbar.)

Doch wird sich im Folgenden zeigen, dass diese Methode auf einen
gravierenden Widerspruch führt. Dazu verwenden wir das nicht ganz so
spektakulàre, dafür aber leicht überschaubare Verhàltnis von zwei zu
eins. In eine Urne werden fortlaufend durchnummerierte Kugeln
eingefüllt, jeweils zwei Stück. Nach jedem Füllvorgang wird die Kugel
mit der kleinsten noch vorhandenen Nummer entfernt. Trennen wir die in
der Urne enthaltenen Kugeln von den bereits wieder entfernten durch
Kommata ab,

21,
2,1
432,1
43,21
6543,21
654,321
...

so erhalten wir eine mathematische Folge, die allerdings bei
mehrziffrigen Zahlen zunehmend unübersichtlich wird. Das Bild
vereinfacht sich erheblich, wenn wir die geraden Zahlen durch 0 und
die ungeraden Zahlen durch 1 kennzeichnen.

01,
0,1
010,1
01,01
0101,01
010,101
...

Lassen wir die Kugelwechsel um 12 Uhr nachts beginnen, wobei der erste
eine halbe Stunde, der zweite eine Viertelstunde, der dritte eine
Achtelstunde usw. benötigen, jeder also nur die Hàlfte der bis zum
Ende der Geisterstunde noch vorhandenen Zeit, so steigt die Anzahl der
Kugeln in der Urne ebenso unaufhaltsam wie das Gerippe in Goethes
Totentanz, um dann ebenso abzustürzen:

Schon trübet der Mond sich verschwindenden Scheins,
Die Glocke, sie donnert ein màchtiges Eins,
Und unten – – – die Urne ist leer!

Dieses Ergebnis folgt zwingend aus der Annahme einer vollendeten Menge
aller natürlichen Zahlen, denn für jede Zahl kann der Zeitpunkt
angegeben werden, zu dem sie die Urne verlàsst. Keine bleibt übrig.
Natürlich ist es auch formalisierbar (vgl. z. B. limes inferior und
limes superior von Mengenfolgen [7]). Aber es steht in striktem
Widerspruch zur Mathematik. Denn wenn wir die obigen Folgen als
Zahlenfolgen, insbesondere die letzte als Folge der Nàherungsbrüche
des unendlichen Kettenbruchs
((((((10^0)/10)+10^1)/10)+10^2)/10)+...
auffassen, so wird der Kugelwechsel durch die Ziffernmengen exakt
modelliert, doch der (uneigentliche) Grenzwert ist in beiden Fàllen
unendlich. Mathematisch bietet sich keine Möglichkeit, eine bestàndig
anwachsende Ziffernmenge mit einem endlichen Grenzwert zu verbinden.
Der Logarithmus ist eine streng monoton steigende Funktion.

Ein unendlicher Grenzwert kann allerdings auch von der Mengenlehre
reproduziert werden. Wir brauchen dazu die eingefüllten Kugeln
lediglich rechts vom Komma anzuschreiben und die entfernten links.

,01
0,1
0,101
01,01
01,0101
010,101
...

Es ist wohl überflüssig zu erwàhnen, dass eine Lehre, deren Ergebnisse
von der Leserichtung abhàngen, die demnach für Europàer und Araber
verschieden ist – und was ergàbe sich erst in China oder Japan? –
nicht als Grundlage der Mathematik dienen kann, als die sie heute noch
immer vielen Mathematikern gilt.

Insbesondere dürfen die Ergebnisse einer wissenschaftlichen Theorie
nicht von der Bezeichnungswahl abhàngen. Doch sogar das ist hier der
Fall, denn wenn wir den obigen Vorgang sachlich zwar völlig
unveràndert lassen, aber statt der kleinsten Zahl stets die größte
entfernen, so enthàlt die Urne um 1 Uhr unendlich viele Kugeln. Die
Frage nach dem Ergebnis bei zufàlliger Auswahl bleibt unbeantwortet.

Gruß, WM
 

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#1 Helmut Richter
18/07/2012 - 12:51 | Warnen spam
On Tue, 17 Jul 2012, WM wrote:

Das Vollendetunendliche führt nicht nur auf so merkwürdige Aussagen
wie die, dass das Unendliche vollendet ist oder dass genau so viele
Brüche wie natürliche Zahlen existieren, obwohl zwischen zwei
natürlichen Zahlen immer unendlich viele Brüche liegen,



Es ist ein Leichtes, völlig konstruktiv und ohne Verwendung von Teufelszeug
wie Cantorscher oder àhnlicher Mengenlehre eine Reihenfolge *aller* rationalen
Zahlen zu bilden, bei der zwischen zwei Brüchen immer unendlich viele
natürliche Zahlen liegen.

In der von dir bevorzugten Mathematik gàbe es mal mehr und mal weniger Brüche
als natürliche Zahlen, je nachdem, wie man sie anordnet. Die Größe einer
Menge sollte aber von ihrer Anordnung unabhàngig sein.

Die Lösung des scheinbaren Widerspruchs ist offensichtlich. Begriffe wie
"genau so viele" (WM) oder "Größe einer Menge" (HR) sind nicht definiert und
taugen nur zum inhaltsleeren Schwadronieren, in das ich hier mal eingstimmt
habe. Definiert ist der Begriff "Gleichmàchtigkeit", und zwar durch die
Existenz einer Bijektion. Und da sind die Mengen der rationalen und die der
natürlichen Zahlen gleichmàchtig. Wie man das populàr ausdrücken mag, spielt
keine Rolle; wenn man bestimmte umgangssprachliche Ausdrucksweisen wie
"enthalten genau so viele Elemente" oder "stimmen in ihrer Größe überein" für
irreführend hàlt, soll man sie halt nicht verwenden, sondern sich auf Begriffe
beschrànken, die definiert sind.

Helmut Richter

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