DGL: dx/dt = x(x(t)) ist keine DGL.

29/05/2012 - 21:56 von Paul Menzel | Report spam
Liebe Leute,


ich sende diese Nachricht, trotzdem ich mittlerweile die Lösung im Netz
gefunden habe [2][3].

Vladimir Igorevič Arnol’d bemerkt Folgendes auf Seite 19 der ersten
Auflage seines Buchs Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Oft wird gesagt, dass man unter einer Differentialgleichung eine
Gleichung versteht, in der die unbekannte Funktion und deren
Ableitungen auftreten. Das ist nicht korrekt, denn z. B. ist
dx/dt = x(x(t)) keine Differentialgleichung.

Die 3. Auflage kann teilweise bei Google Books eingesehen werden [1],
doch ist gerade diese Seite dort nicht verfügbar.

Die Begründung ist, die Komposition genügt nicht der folgenden
Definition

0 = G(t, y(t), yʹ(t), yʹʹ(t), …, y^{(n)}),

die meist spàter in den Textbüchern gegeben wird [2][3].


Liebe Grüße,

Paul


[1] http://books.google.de/books?id=5w1...Cg&ved DsQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false
[2] http://www.boards.ie/vbulletin/show...p?pq724256
[3] http://math.stackexchange.com/quest...l-equation
 

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#1 Bernd Funke
31/05/2012 - 19:53 | Warnen spam
Paul Menzel wrote:
Liebe Leute,


ich sende diese Nachricht, trotzdem ich mittlerweile die Lösung im
Netz gefunden habe [2][3].

Vladimir Igorevič Arnol’d bemerkt Folgendes auf Seite 19 der ersten
Auflage seines Buchs Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Oft wird gesagt, dass man unter einer Differentialgleichung
eine Gleichung versteht, in der die unbekannte Funktion und
deren Ableitungen auftreten. Das ist nicht korrekt, denn z. B.
ist dx/dt = x(x(t)) keine Differentialgleichung.



Unter "auftreten" sollte man natürlich verstehen: eine *bekannte* Funktion
von denen. Das ist x(x(t)) nunmal nicht.

Witzige Idee aber, das Ding ist hochgradig nicht-lokal: Als
Anfangswertproblem betrachtet bràuchte man nicht nur x(0), sondern auch
x(x(0)) und wüsste schon nicht, ob das konsistent wird. Aber zum Überprüfen
kàme man erst gar nicht, weil man für die Weiterentwicklung ja auch
x(x(x(0))) usw. bràuchte.

Trotzdem hat diese Nicht-DGL nicht-triviale Lösungen. x(t)=a^(1/a)*t^a mit
a=exp(i\pi/3) ist eine, sofern x (und damit auch t) komplex sein darf.

Bernd

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