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DGL: Frage zu Beweis von Satz

12/04/2012 - 23:53 von Paul Menzel | Report spam
Liebe Mathematikfreunde,


ich bereite mich gerade auf die DGL-I-Prüfung vor und arbeite das Skript
[1] von Frau Wittbold durch durch. Leider sind mir einige Schritte nicht
ganz klar und bin froh, Eure Usenet-Gruppe gefunden zu haben und somit,
trotz des Mangels eines Verteilers für Mathematik, kein Forum benutzen
zu müssen.

Definition (Stabilitàt)
Sei f : D^(offen) ⊂ ℝ^(N + 1) stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich y
auf D. Sei y eine Lösung der Differentialgleichung

yʹ = f(x, y)

auf einem Intervall [x₀; +∞[ für ein x₀ ∈ ℝ und y₀ ≔ y(x₀). Dann heißt
die Lösung y *stabil* (auf [x₀; +∞[), wenn gilt:

Für alle positiven ε, existiert ein positives δ ≔ δ(ε), sodass für alle
(x₀, z₀) ∈ D mit ∥y₀ - z₀∥ < δ das Anfangswertproblem

zʹ = f(x, z)
z(x₀) = z₀

eine Lösung z auf [x₀; +∞[ besitzt, welche der Ungleichung

∀ (x > x₀): ∥z(x) - y(x)∥ < ε

genügt.

Betrachten wir nun lineare, autonome Differentialgleichungssystem
(laDGL) mit

yʹ = Ay
y(0) = y₀

mit A ∈ ℝ^(N × N).

Meine Frage bezieht sich auf einen Schritt in dem Beweis zu folgendem
Satz [1, Seite 65].

Satz
-
Alle Lösungen der DGL (laDGL) sind genau dann *stabil*, wenn alle
Eigenwerte von A einen nicht-positiven Realteil haben und außerdem für
die Eigenwerte mit verschwindendem Realteil die algebraische und die
geometrische Vielfachheit übereinstimmen.

Es folgend die Aussagen aus dem Beweis.

Aussage (1)
∃ (M ≥ 1): ∥e^{Ax}∥ ≤ M (⇔ ∀ (y₀ ∈ ℝ^N): ∥e^{Ax} y₀∥ ≤ M ∥y₀∥)

Aussage (2)
Die Nulllösung, das heißt, ∀ (x ≥ x₀): y(x) = 0, von yʹ = Ay ist stabil.

Behauptung
-
Aussage (1) und (2) sind àquivalent.

(1) ⇔ (2)

Beweis

1. Die Hinrichtung kann ich zeigen.

∃ (M ≥ 1): ∥e^{Ax}∥ ≤ M
⇔ ∀ (y₀ ∈ ℝ^N): ∥e^{Ax} y₀∥ ≤ M ∥y₀∥
⇔ ∀ (y₀ ∈ ℝ^N): ∥0 - e^{Ax} y₀∥ ≤ M ∥0 - y₀∥

Sei ε > 0. Mit δ ≔ δ(ε) ≔ ε/M folgt die Behauptung.

∥0 - y₀∥ < δ
⇒ ∥0 - e^{Ax} y₀∥ ≤ M ∥0 - y₀∥ ≤ M * ε/M = ε

2. Leider bekomme ich die Rückrichtung nicht hin. Könnt Ihr mir da
weiterhelfen? Ich vermute, man kann auch hier M direkt angeben und somit
die Existenz zeigen, doch weiß ich nicht wie. Woher weiß ich, dass es
ein maximales ε gibt, dass ich vermutlich dafür verwenden könnte?

Gibt es zusàtzlich eine „anschauliche“ Begründung, warum diese
Äquivalenz gelten muss? Bei der Hinrichtung spielt die Beschrànktheit
der Norm der Fundamentalmatrix durch M die entscheidende Rolle, da somit
die Anfangswertvektoren nur begrenzt gestreckt werden können und der
maximale Abstand der Lösungen somit von dem Abstand der Anfangswerte
abhàngen.


Im Voraus vielen Dank für Eure Hilfe. Liebe Grüße,

Paul


[1] http://www3.math.tu-berlin.de/Vorle...1/DGL1.pdf

Die Neo-Tastaturbelegung macht es einfach, mathematische Symbole
einzugeben.
http://neo-layout.org
 

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#1 Christopher Creutzig
14/04/2012 - 11:16 | Warnen spam
On 4/12/12 11:53 PM, Paul Menzel wrote:

Aussage (1)
∃ (M ≥ 1): ∥e^{Ax}∥ ≤ M (⇔ ∀ (y₀ ∈ ℝ^N): ∥e^{Ax} y₀∥ ≤ M ∥y₀∥)

Aussage (2)
Die Nulllösung, das heißt, ∀ (x ≥ x₀): y(x) = 0, von yʹ = Ay ist stabil.

Behauptung
-
Aussage (1) und (2) sind àquivalent.

(1) ⇔ (2)

Beweis


2. Leider bekomme ich die Rückrichtung nicht hin. Könnt Ihr mir da



Wenn ∥e^{Ax}∥ unbeschrànkt ist, was ergibt sich dann für ∥e^{Ax} y₀∥ ∥y(x)∥, wenn y₀=y(x₀) beliebig dicht an der 0 liegt? (NB: Die Abbildung
y₀ ↦ e^{Ax} y₀ ist linear.)

die Existenz zeigen, doch weiß ich nicht wie. Woher weiß ich, dass es
ein maximales ε gibt, dass ich vermutlich dafür verwenden könnte?



Ich glaube, der indirekte Beweis ist einfacher, s.o.

Grundsàtzlich: So eine Aussage muss für beliebige ε gelten. Du könntest
allenfalls zeigen, dass irgendein ε so groß ist, dass eine weitere
Vergrößerung keinen Unterschied machen würde.

Gibt es zusàtzlich eine „anschauliche“ Begründung, warum diese
Äquivalenz gelten muss? Bei der Hinrichtung spielt die Beschrànktheit



Eigenwerte mit positivem Realteil entsprechen physikalisch Schwingungen
mit (Resonanz-)Verstàrkung, solche mit negwtivem Realteil einer
gedàmpften Schwingung. Rückgekoppelte Systeme mit ungedàmpften
Resonanzen sind aus naheliegenden Gründen instabil.

der Norm der Fundamentalmatrix durch M die entscheidende Rolle, da somit
die Anfangswertvektoren nur begrenzt gestreckt werden können und der
maximale Abstand der Lösungen somit von dem Abstand der Anfangswerte
abhàngen.



Und genau das ist für den anderen Fall auch entscheidend.

das mußt Du so lesen: "wir haben bei der Durchsicht unserer
Profitmaximierungsmöglichkeiten Ihren Namen gefunden, Sie haben
offenbar noch keine schlechten Erfarungen mit uns gemacht. Bitte
halten Sie Geld bereit, wir wollen das àndern.." („gUnter nanonüm“)

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