DGL: Frage zur Anwendung der Gr

31/05/2012 - 09:18 von Paul Menzel | Report spam
Liebe Leute,


meine eigentliche Frage ist, warum mit d : ℝ ⊃ [a, b) → ℝ^+ und L > 0
aus

(1) d(x) ≤ L ∫_a^x d(s) ds

mit der Grönwallschen Ungleichung

(2) d(x) ≤ 0

folgt. Dies wird im Beweis Beweis für die Eindeutigkeit von Lösungen von
Anfangswertproblemen bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit im Beweisarchiv
verwendet [1].

Aus (1) folgt mit der Grönwallschen Ungleichung [2] die Abschàtzung (3).

(3) d(x) ≤ e^{L(x - a)} ≤ e^{L(b - a)}

Leider sehe ich heraus nicht, wie hieraus d(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b)
folgen soll.

Habt Ihr einen Hinweis für mich?


Liebe Grüße,

Paul


[1] https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Gewöhnliche_Differentialgleichungen:_Eindeutigkeitstheorie:_Lokale_Lipschitz-Stetigkeit
[2] https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Analysis:_Ungleichungen:_Grönwallsche_Ungleichung
 

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#1 Alfred Flaßhaar
31/05/2012 - 10:11 | Warnen spam
Paul Menzel wrote:
Liebe Leute,


meine eigentliche Frage ist, warum mit d : ℝ ⊃ [a, b) → ℝ^+ und L > 0
aus

(1) d(x) ≤ L ∫_a^x d(s) ds

mit der Grönwallschen Ungleichung

(2) d(x) ≤ 0

folgt.



(...)

Die Funktion auf der rechten Seite von (2) ist Lösung von u(x)=0+L*Int_a^x
u(s)ds. Zusammen mit der Voraussetzung (1) erlaubt das Lemma von Gronwall
den Vergleich gem. (2).

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

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