DGL "mit Hindernissen" lösen ...

29/10/2014 - 11:19 von Udo | Report spam
Hallo,

ich verstehe nicht, warum folgende Vorgehensweise falsch ist und grüble jetzt
schon eine ganze Weile vergeblich:
Gegeben die Differentialgleichung, die ich lösen möchte

DGL:
(1) dy/dx = k + x*y

Meine Idee:
substituiere die rechte Seite durch u und bilde die Ableitung nach y

(2) u = k + x*y ==> du/dy = x ==> dy = 1/x * du

dy und u in (1) eingesetzt ergibt

1/x * du/dx = u womit ich die Variablen separieren kann:

1/u * du = x * dx

Integrieren:
Integral(1/u * du) = Integral(x * dx)
und damit

ln(u) = 1/2*x^2 + C' bzw. u = e^(1/2*x^2 + C')

bzw.

(3) u = C*e^(1/2*x^2)
(2) u = k + x*y (s. Substitution), d.h.

(4) k + x*y = C*e^(1/2*x^2)

oder, nach y aufgelöst:

(5) y = C/x * e^(1/2*x^2) - k/x

Das Ergebnis (5) ist falsch, wie die Ableitung zeigt.
Aber wo liegt der Fehler?


Frage 1: Was ist an der Vorgehensweise falsch?
Frage 2: Angenommen, ich stoße beim Lösen irgendeiner DGL auf das Ergebnis

(4) k + x*y = C*e^(1/2*x^2)

Wenn ich hier sofort als "Anfangsbedingung" x=0 setze, so erhalte ich k = C

Wenn ich aber zuerst durch x dividiere und nach y auflöse erhalte ich

(5) y = C/x * e^(1/2*x^2) - k/x

und sehe, dass ich die
Anfangsbedingung x = 0 nicht wàhlen darf (Division durch Null)
Je nachdem, wo aus ich die Anfangsbedingung einsetze (4) oder (5)
erhalte ich ein unterschiedliches Ergebnis (k=C bzw. x=0 nicht zulàssig).

Und nu? Ist k = C aus (4) berechnet falsch?

Sorry, wenn ich so blöd frage, aber ich hab niemanden den ich sonst fragen kann,
und bin inzwischen ziemlich verwirrt ...

Viele Grüße
Udo
 

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#1 Roland Franzius
29/10/2014 - 12:29 | Warnen spam
Am 29.10.2014 11:19, schrieb Udo:
Hallo,

ich verstehe nicht, warum folgende Vorgehensweise falsch ist und grüble jetzt
schon eine ganze Weile vergeblich:
Gegeben die Differentialgleichung, die ich lösen möchte

DGL:
(1) dy/dx = k + x*y

Meine Idee:
substituiere die rechte Seite durch u und bilde die Ableitung nach y

(2) u = k + x*y ==> du/dy = x ==> dy = 1/x * du



dy = k dx + dx x y

u = k + x*y -> y= (u-k)/x , dy = du/x -(u-k)/x^2 dx

du/x -(u-k)/x^2 dx == u dx

du =(u x+ (u-k)/x ) dx

Die richtige Idee ist: Es ist eine inhomogene lineare Gleichung. Die
allgemeine Lösung ist Spezielle Lösung + allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung.

Da lineare Gleichungen e-Funktionen und Potenzfunktionen als Lösungen
besitzen

g'(x)=e^(f(x))' = e^(f(x)) f'(x) =g(x) f(x)

(x^n)' n/x (x^n)


kann man es für eine spezielle Lösung mit dem Ansatz

y = g(x) e^(x^2/2)

y'=x y + g'e^(x^2/2)

Demnach ist g =erf und die homogene Gleichung kann durch Separation
integriert werden.


Roland Franzius

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