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Dicke Mengen natuerlicher Zahlen

03/07/2013 - 01:27 von Rainer Rosenthal | Report spam
Sei M eine Menge natürlicher Zahlen. Mit Z(M) bezeichne ich
die Menge aller natürlichen Zahlen, die Zentrum von zwei
verschiedenen Elementen von M sind.

So ist zum Beispiel für M = {1,5,12,27} diese Menge gleich
Z(M) = {3, 14, 16}.

Wenn für eine Menge M gilt, dass Z(M) alle natürlichen
Zahlen oberhalb einer gewissen Zahl enthàlt, dann will
ich sie als "dick" bezeichnen.

Eine Frage: ist die Menge der Quadratzahlen dick? Ist also
ab einer bestimmten Zahl jede natürliche Zahl das arithmetische
Mittel zweier Quadratzahlen?
Antwort: für M = Menge der Quadratzahlen ist Z(M) erstaunlich
einfach gebaut. Wegen a^2+b^2 = ((a+b)^2+(a-b)^2)/2 ist
(u^2+v^2)/2 = a^2+b^2 mit a = (u+v)/2 und b = (u-v)/2. Eine
natürliche Zahl ist also genau dann Zentrum zweier Quadratzahlen,
wenn sie die Summe von zwei Quadratzahlen ist. Bekanntlich làsst
sich jede Zahl als Summe von maximal 4 Quadraten darstellen.
Es gibt aber immer wieder Zahlen, für die auch vier solche
Summanden benötigt werden. Mithin ist die Menge der Quadrate
nicht dick!

Nàchste Frage: ist die Menge der Primzahlen dick?
Experimentalmathematik mit Maple hat mir gezeigt, dass ab n=4
jede natürliche Zahl Zentrum von zwei verschiedenen Primzahlen ist.
4 = (3+5)/2, 5 = (3+7)/2, 6 = (5+7)/2 usw.
Die "einschließenden Primzahlen" p und q mit p < n < q
und n =(p+q)/2 sind für natürliche Zahlen n > 3 nicht etwa
eindeutig bestimmt, aber ich habe mir den Spaß gemacht, für jedes n
das kleinste p zu suchen. Für nS8711 ist p`1, und dann wurde
die Rechenzeit unertràglich lange, sodass ich nach einer Viertelstunde
die Rechnerei unterbrochen habe.

Das ist natürlich reine Experimentalmathematik, und es sollte mich
nicht wundern, wenn ein Kenner der Materie sagte: "Das ist wie so
vieles bei den Primzahlen: jeder ist sich sicher, aber niemand kanns
beweisen."

Zum Abschluss also nochmal konkret gefragt:
Làsst sich beweisen, dass jede Zahl n > 3 arithmetische Mittel
zweier verschiedener Primzahlen ist?

Öhm ... ist schon spàt. Gerade wird mir klar, dass ich die Goldbach-
Vermutung anders formuliert habe ... sorry.
Siehe A002373 und A025019 im OEIS.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

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#1 Thomas Nordhaus
03/07/2013 - 09:34 | Warnen spam
Am 03.07.2013 01:27, schrieb Rainer Rosenthal:
Sei M eine Menge natürlicher Zahlen. Mit Z(M) bezeichne ich
die Menge aller natürlichen Zahlen, die Zentrum von zwei
verschiedenen Elementen von M sind.

So ist zum Beispiel für M = {1,5,12,27} diese Menge gleich
Z(M) = {3, 14, 16}.

Wenn für eine Menge M gilt, dass Z(M) alle natürlichen
Zahlen oberhalb einer gewissen Zahl enthàlt, dann will
ich sie als "dick" bezeichnen.

Eine Frage: ist die Menge der Quadratzahlen dick? Ist also
ab einer bestimmten Zahl jede natürliche Zahl das arithmetische
Mittel zweier Quadratzahlen?
Antwort: für M = Menge der Quadratzahlen ist Z(M) erstaunlich
einfach gebaut. Wegen a^2+b^2 = ((a+b)^2+(a-b)^2)/2 ist
(u^2+v^2)/2 = a^2+b^2 mit a = (u+v)/2 und b = (u-v)/2. Eine
natürliche Zahl ist also genau dann Zentrum zweier Quadratzahlen,
wenn sie die Summe von zwei Quadratzahlen ist. Bekanntlich làsst
sich jede Zahl als Summe von maximal 4 Quadraten darstellen.
Es gibt aber immer wieder Zahlen, für die auch vier solche
Summanden benötigt werden. Mithin ist die Menge der Quadrate
nicht dick!

Nàchste Frage: ist die Menge der Primzahlen dick?
Experimentalmathematik mit Maple hat mir gezeigt, dass ab n=4
jede natürliche Zahl Zentrum von zwei verschiedenen Primzahlen ist.
4 = (3+5)/2, 5 = (3+7)/2, 6 = (5+7)/2 usw.
Die "einschließenden Primzahlen" p und q mit p < n < q
und n =(p+q)/2 sind für natürliche Zahlen n > 3 nicht etwa
eindeutig bestimmt, aber ich habe mir den Spaß gemacht, für jedes n
das kleinste p zu suchen. Für nS8711 ist p`1, und dann wurde
die Rechenzeit unertràglich lange, sodass ich nach einer Viertelstunde
die Rechnerei unterbrochen habe.

Das ist natürlich reine Experimentalmathematik, und es sollte mich
nicht wundern, wenn ein Kenner der Materie sagte: "Das ist wie so
vieles bei den Primzahlen: jeder ist sich sicher, aber niemand kanns
beweisen."

Zum Abschluss also nochmal konkret gefragt:
Làsst sich beweisen, dass jede Zahl n > 3 arithmetische Mittel
zweier verschiedener Primzahlen ist?



Du Schelm - Gerade wollte ich dir mit der Goldbachschen Vermutung kommen.


Öhm ... ist schon spàt. Gerade wird mir klar, dass ich die Goldbach-
Vermutung anders formuliert habe ... sorry.
Siehe A002373 und A025019 im OEIS.



Und dann scroll ich runter...

Damit dieses Post nicht völlig überflüssig ist, hier ein
mnemotechnischer Tipp: Geht es evtl. nicht nur mir so, dass ich Goldbach
mit Goldberg verwechsele? Das hat mit den Goldberg-Variationen von Bach
zu tun, die auf mich einen àhnlichen àsthetischen Reiz ausüben. Ich merk
mir dann dass da nicht zweimal ein Bach vorkommen darf. Also
Gold_berg-Variationen. Dann muss man sich nur noch merken, dass Goldberg
ein Cembalist war aber _kein_ Mathematiker. Also muss es Goldbachsche
Vermutung heißen.

HTH


Gruß,
Rainer Rosenthal






Thomas Nordhaus

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