Didaktik der alternierenden Multilinearform

24/10/2011 - 00:57 von Norbert Dragon | Report spam
Das Volumen eines orientierten p-Spates, der von Kantenvektoren
u_1, u_2, ... u_p aufgespannt wird, ist für Mathematiker per Definition
eine alternierende Multilinearform der p Kantenvektoren.

Wie macht man klar, daß diese Definition dem intuitiven Verstàndnis
entspricht?

Mein Versuch ab Seite 18

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/rech.pdf

ist selbstgestrickt. Wo findet man einleuchtendere Erklàrungen?
Ich würde gern auf sie als Kronzeugen meiner Argumente verweisen.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon
 

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#1 ram
24/10/2011 - 02:01 | Warnen spam
Norbert Dragon writes:
Das Volumen eines orientierten p-Spates, der von Kantenvektoren
u_1, u_2, ... u_p aufgespannt wird, ist für Mathematiker per Definition
eine alternierende Multilinearform der p Kantenvektoren.
Wie macht man klar, daß diese Definition dem intuitiven Verstàndnis
entspricht?



Man kann den Begriff des Volumens unterschiedlich interpretieren:
Wie Du oben, als vorzeichenbehaftet (alternierend), oder aber auch
als vorzeichenlos.

Man kann aber auch zwei Volumen im Sinne eines Spates verstehen,
so daß zwei Volumen nur dann gleich sind, wenn ihre Kantenvektoren
paarweise gleich sind (was sicher eher unüblich ist). Noch feiner
könnte man gar verlangen, daß alle Vektoren des Spates auch denselben
Fußpunkt haben sollen (wenn sie aus einem Vektorbündel stammen).

Man kann aber auch gröber werden und nur noch die Maßzahl
des Volumens als »Volumen« definieren (unter Fortlassung des
àußeren Produktes der Basisvektoren).

Das intuitive Verstàndnis ist weniger eindeutig und verlangt auch
oft den Kontext zur Interpretation. So kann ein intuitiver Begriff
in mehrere pràzisere Begriffe zerfallen, wenn man versucht, ihn
zu pràzisieren und von einem Kontext unabhàngig zu definieren.

Intuitiv gibt es beispielsweise kein negatives Volumen.

Ich hatte einmal verschiedene Flàchenbegriffe an Hand der Produkte
beschrieben, mit denen man in der Mathematik Flàchen quantisiert.
So kann man das alternierende multilineare Produkt in eine Folge
andere Produkte einordnen, die an Hand der Größe der ihnen
entsprechenden Äquivalenzklassen sortiert werden können.
Das im folgenden für Flàchen Gesagte kann man auf Volumen übertragen.
Der Rest dieses Postings besteht nun nur noch aus dem Zitate dieses
früheren Postings von mir:

In der Differentialgeometrie verwendet man Flàchenelemente,
die aus der bilinearen Algebra kommen. Im folgenden spreche
ich dafür kurz von »Flàchen« und nicht mehr von »Flàchenelementen«.

Allen Flàchen gemein ist, daß eine Flàche durch zwei Vektoren
bestimmt wird, die sie »aufspannen«. Eine Flàche wird hier als
das »Produkt« dieser beiden Vektoren angesehen. Je nach dem
Flàchenbegriff gibt es aber verschiedene Produktbegriffe.

Ein Produkt liefert einen Flàchenbegriff dadurch, daß man in
einem bestimmten Kontext übereinkommt, zwei Flàchen als
»gleich« (kurz für »gleichwertig«) anzusehen, wenn ihr Produkt
gleich ist. Etwa, wenn man nur den Flàcheninhalt als »Flàche«
ansehen will, aber nicht dessen Richtung.

Ich nenne ein Produkt »gröber« als ein anderes, wenn man es
durch Identifikation von Werten des anderen Produkts erhàlt,
man also verschiedene Werte des anderen Produkts nicht mehr
unterscheiden will.

Nun stelle ich verschiedene Produkte in der Reihenfolge vom
feinsten zum gröbsten vor.

1.) Die feinste Produkt ist das kartesische Produkt "( u, w )".
Man sieht zwei Flàchen nur als gleich an, wenn sie von den
gleichen Vektoren aufgespannt werden.

0.) PS: Noch feiner wàre ein Produkt mit Fußpunkten.

2.) Man will nun aber manchmal davon sprechen können, daß sich
eine Flàche verdoppele, wenn sich der eine oder der andere
Vektor verdoppelt, ohne daß es eine Rolle spielen soll
welcher. Durch diese Forderung kommt man zum /Tensorprodukt/
"u @ w", das gerade das feinste bilineare Produkt sein soll.
Es soll also gelten "( 2 u )@ w = u @( 2 w )". Dieser Wert
kann dann auch "2( u @ w )" genannt werden. Die "2" ist hier
eine Zahl, die in diesem Zusammenhang »Skalar« genannt wird.
(Alle bilinearen Funktionen zweier Vektoren lassen sich als
Funktion des Tensorprodukts schreiben, das insofern eine
»universelle« Bilinearform ist.)

3.) In jeder Ebene gibt es nun aber zwei Typen von Flàchen,
die nicht durch einen skalaren Faktor verbunden sind, denn
"u @ w" und "w @ u" sind nicht vergleichbar. Man will aber gerne
orientierte Flàchen haben, so daß "u @ w" und "w @ u" sich durch
das Vorzeichen unterscheiden. Diese Eigenschaft hat das
/antisymmetrische Produkt/ "u v w", das als "œ( u @ w - w @ u )"
definiert wird, und auch »àußeres Produkt« genannt wird.

Es entspricht einer orientierten Flàche, also einer Flàche mit
Betrag und Richtung und ist das übliche Produkt für die
Flàchenelemente "dx" und "dy" unter einem Flàchenintegral.
"dx" und "dy" werden dabei heute als Vektoren angesehen,
aber man schreibt traditionell selten "dx v dy", sondern
nur kurz "dx dy".

Im R³ ist die Menge dieser Flàchen "u v w" gerade dreidimensional,
so daß man jeder Flàche "u v w" einen Vektor des R³ zuordnen kann,
der mit der sogenannten *-Konjugation als "*( u v w )"
geschrieben wird. Dieser Vektor ist nichts anderes als das
aus der Schulmathematik bekannte Vektorprodukt "u × w" der beiden
Vektoren. Da die Isomorphie zwischen àußeren Produkten und
Vektoren in Ràumen anderer Dimensionen nicht unbedingt
gegeben ist, ist das Vektorprodukt aber nicht unbedingt auf sie
verallgemeinerbar - das àußerer Produkt schon.

4.) Wenn die Flàchen keine Orientierung haben sollen, dann
kann man das /symmetrische Produkt/ "u ^ w" als "œ( u @ w + w @ u )"
heranziehen. Hier ist jede Flàche nur noch durch ihre Ebene und
ihre Größe gekennzeichnet.

5.) Schließlich kann man noch alle Ebenen identifizieren und
sich nur für die Größe der Flàche interessieren, die im R³
durch den Betrag »|u × w|« des Vektorprodukts gegeben wird.

6.) Das denkbar gröbste Produkt, das aber in der Praxis keine
Rolle spielt, wàre eines, das jedem Paar zweier Vektoren
den Wert 0 zuordnet und sie damit alle identifiziert.

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