Die Antinomie unendlicher Anzahlen

13/06/2008 - 09:24 von Albrecht | Report spam
Meine bisher beste Formulierung der Antinomie unendlicher Anzahlen:

Ein absolut zuverlàssiger, unzerstörbarer, ewig laufender Automat mit
unendlichem Ausgaberaum ist ein A-Automat (Aeternity-Automat oder
auch, ganz unbescheiden, Albrecht-Automat :-)).

Gegeben sei ein A-Automat A der nichts weiter macht als eine Liste der
Form

X
XX
XXX
XXXX
XXXXX
...

zu erzeugen.


Gegeben sei weiterhin ein A-Automat B der nichts weiter macht als eine
Zeile der Form

XXXXXXXX ...

zu schreiben.

So wie die natürlichen Zahlen nach Aufstellen der Peano-Axiome sofort
als aktual unendliche Menge vorliegen (im modernen Verstàndnis der
Mathematik), so liegt auch das Ergebnis des A-Automaten nach dessen
Definition fest und kann als gegeben und vorliegend angenommen werden.

Der A-Automat A erzeugt eine Liste natürlicher Zahlen in unitàrer
Schreibweise. Jede dieser Zahlen ist endlich. Folglich enthàlt die
Ausgabe des A-Automaten A in jeder Zeile nur endlich viele Zeichen.
Die erste _Spalte_ enthàlt aber unendlich viele Zeichen, da es
unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Wie verhàlt es sich nun mit dem A-Automaten B? Da der A-Automat B
unendlich oft Zeichen um Zeichen in die Zeile schreibt, muss diese
Zeile unendlich viele Zeichen enthalten.

Nun betrachten wir einen A-Automat C. Dieser Automat schreibt im
ersten Zyklus ein „X“ in eine Zeile. In jedem weiteren Zyklus tut er
folgendes:
Er dupliziert die vorhandene Zeile in eine zweite Zeile und verlàngert
diese Zeile mit einem „X“. Er erzeugt also den Nachfolger. Dann löscht
er die erstere Zeile, so dass nur noch die Zeile mit dem Nachfolger
vorhanden ist.
Dieser Zyklus wird unendlich oft wiederholt.

Wie sieht nun die Ausgabe des A-Automaten C aus? Enthàlt die Ausgabe
eine Zeile mit einem unendlichen String wie A-Automat B? Oder ist der
String in der Zeile jederzeit nur endlich wie beim A-Automat A? Damit
wàre die Ausgabe aber undefiniert, da es keine grösste natürliche Zahl
gibt.

Nun macht der A-Automat C aber nichts anderes wie der A-Automat B, nur
das er zwischen jeder Verlàngerung des Strings weitere Arbeitschritte
ausführt, die aber für das Endergebnis unerheblich sind.
Der A-Automat C macht aber auch nichts anderes wie der A-Automat A,
nur mit dem Unterschied, dass er die jeweilige Vorgàngerzeile löscht.

Damit muss der A-Automat C aber gleichzeitig einen String definierter
lànge, nàmlich der Lànge „Unendlich“ und einen undefinierten String,
nàmlich „grösste natürliche Zahl“ erzeugen.

Eine offensichtliche Antinomie.

Auch nett: Ein weiterer A-Automat D hat folgendes Programm: Er
verlàngert in jedem Schritt sowohl den String in der ersten Zeile wie
auch den in der ersten Spalte. Die Ausgabe sàhe also so aus:

XXXXXXXXXXXXX …
X
X
X
X
X
.
.
.

Sind beide Strings unendlich oder nicht? Können sie verschieden sein?
Warum muss dann beim A-Automat A nicht auch ein unendlicher String in
einer Zeile stehen?

Gruss
Albrecht S. Storz
 

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#1 Jan Fricke
13/06/2008 - 10:03 | Warnen spam
Albrecht wrote:
Wie sieht nun die Ausgabe des A-Automaten C aus? Enthàlt die Ausgabe
eine Zeile mit einem unendlichen String wie A-Automat B? Oder ist der
String in der Zeile jederzeit nur endlich wie beim A-Automat A? Damit
wàre die Ausgabe aber undefiniert, da es keine grösste natürliche Zahl
gibt.

Nun macht der A-Automat C aber nichts anderes wie der A-Automat B, nur
das er zwischen jeder Verlàngerung des Strings weitere Arbeitschritte
ausführt, die aber für das Endergebnis unerheblich sind.
Der A-Automat C macht aber auch nichts anderes wie der A-Automat A,
nur mit dem Unterschied, dass er die jeweilige Vorgàngerzeile löscht.

Damit muss der A-Automat C aber gleichzeitig einen String definierter
lànge, nàmlich der Lànge „Unendlich“ und einen undefinierten String,
nàmlich „grösste natürliche Zahl“ erzeugen.



Das kannst Du aber viel einfacher haben: Der A-Automat J schreibt ein X,
löscht es wieder, schreibt ein U, löscht es wieder, schreibt ein X,
löscht es wieder, schreibt ein U, löscht es wieder, schreibt ein X,
löscht es wieder, schreibt ein U, löscht es wieder, schreibt ein X,
löscht es wieder, schreibt ein U, löscht es wieder, schreibt ein X,
löscht es wieder, schreibt ein U, löscht es wieder, schreibt ein X,
löscht es wieder, usw.

Was ist die Ausgabe von J? Will uns J ein X für ein U vormachen? Ist das
schon eine Antinomie?


Viele Grüße Jan

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