Die Existenz des Delta-Potentials beweist, daß sin(x) + cos(x+Pi/2) = 0 nicht nur fast übersall

18/01/2012 - 15:57 von Imperatore | Report spam
Delta-Potential
1. Anschlussbedingungen. ist stetig bei x = 0. Die Ableitung von
hat bei x = 0 einen Sprung. Das
sieht man, indem man die Schršodingergleichung
- ~2
2m
d2
dx2 (x) -
~2
2m
(x) (x) - E (x) = 0 (33)
von - bis + integriert:
- ~2
2m
( 0( ) - 0(- )) -
~2
2m
(0) - E
Z +
-
dx (x) = 0 (34)
Fšur ! 0 verschwindet das verbleibende Integral und es bleibt fšur
die Differenz aus rechtsseitiger
und linksseitiger Ableitung:
0(0+) - 0(0-) + (0) = 0 (35)
2. Fšur x 6= 0 lautet die Schršodingergleichung
- ~2
2m
d2
dx2 (x) - E (x) = 0 (36)
Daher macht man den Lšosungsansatz
(x) = Ae x + Be- x, (37)
wobei q
-2mE
~2 . Nur falls reell ist, erhšalt man eine normierbare Lšosung.
Daraus folgt E < 0.
Da fšur x ! ±1 jeweils einer der Exponentialausdršucke explodiert,
sieht die Lšosung konkret so aus:
(x) (
Ae x x < 0
Be- x x > 0
(38)
Wegen der Stetigkeit der Lšosung an der Stelle x = 0 folgt A = B.
Setzt man jetzt noch
0(x) (
A e x x < 0
-A e- x x > 0
(39)
in die zweite Anschlussbedingung (??) ein, so erhšalt man:
-A - A + A = 0 (40)
Es folgt

2
= r
-
2mE
~2 also (41)
E = -~2 2
8m
(42)
Die Lšosung dieser Aufgabe steht auch im Fliessbach: QM, 2. Auflage
Kapitel 19. Dort findet man
šubrigens auch den endlichen Potentialtopf, eine gute šUbung zur
Klausurvorbereitung!
 

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#1 Imperatore
18/01/2012 - 21:47 | Warnen spam
On 18 Jan., 15:57, Imperatore wrote:
Delta-Potential
1. Anschlussbedingungen.   ist stetig bei x = 0. Die Ableitung von
hat bei x = 0 einen Sprung. Das
sieht man, indem man die Schršodingergleichung
- ~2
2m
d2
dx2  (x) -
 ~2
2m
 (x) (x) - E (x) = 0 (33)
von -  bis +  integriert:
- ~2
2m
( 0( ) -  0(- )) -
 ~2
2m
 (0) - E
Z +
-
dx  (x) = 0 (34)
Fšur   ! 0 verschwindet das verbleibende Integral und es bleibt fšur
die Differenz aus rechtsseitiger
und linksseitiger Ableitung:
 0(0+) -  0(0-) +   (0) = 0 (35)
2. Fšur x 6= 0 lautet die Schršodingergleichung
- ~2
2m
d2
dx2  (x) - E (x) = 0 (36)
Daher macht man den Lšosungsansatz
 (x) = Ae x + Be- x, (37)
wobei   > q
-2mE
~2 . Nur falls   reell ist, erhšalt man eine normierbare Lšosung.
Daraus folgt E < 0.
Da fšur x ! ±1 jeweils einer der Exponentialausdršucke explodiert,
sieht die Lšosung konkret so aus:
 (x) > (
Ae x x < 0
Be- x x > 0
(38)
Wegen der Stetigkeit der Lšosung an der Stelle x = 0 folgt A = B.
Setzt man jetzt noch
 0(x) > (
A e x x < 0
-A e- x x > 0
(39)
in die zweite Anschlussbedingung (??) ein, so erhšalt man:
-A  - A  +  A = 0 (40)
Es folgt

2
=   > r
-
2mE
~2 also (41)
E = -~2 2
8m
(42)
Die Lšosung dieser Aufgabe steht auch im Fliessbach: QM, 2. Auflage
Kapitel 19. Dort findet man
šubrigens auch den endlichen Potentialtopf, eine gute šUbung zur
Klausurvorbereitung!



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