Die Klasse der natürlichen Zahlen ist unendlich und echt

23/07/2010 - 02:44 von Albrecht | Report spam
Ich möchte mein Argument, neu formuliert, mal wieder in Erinnerung zu
rufen:

Die beiden Aussagen "Die Folge der natürlichen Zahlen ist nach oben
unbeschrànkt" und "Die Klasse der nat. Zahlen hat eine Kardinalzahl"
sind zueinander widersprüchlich.

Beweis:

Gegeben ist die Folge der nat. Zahlen in unitàrer Schreibweise mit der
Ziffer "O"

O
OO
OOO
OOOO
...

Zu jedem endlichen Anfangsabschnitt dieser Folge làsst sich eine Kette
nach folgender Regel konstruieren:
Über der Liste der Folgenglieder wird jeweils in genau der Spalte ein
"X" gesetzt, in der mindestens ein "O" enthalten ist. Hier ein paar
Beispiele zur Veranschaulichung:

XX
O
OO

XXXX
O
OO
OOO
OOOO

X
O

usw.

Diese X-Ketten entsprechen jeweils der größten, in dem
Anfangsabschnitt enthaltenen nat. Zahl in unitàrer Schreibweise mit
der Ziffer "X".

Zur Folge der nat. Zahlen

O
OO
OOO
OOOO
...

erhàlt man nach obiger Konstruktionsregel

XXXXXXX ...
O
OO
OOO
OOOO
OOOOO
OOOOOO
...

Nun ist die Lànge der so gebildete X-Kette XXXXXXX ... nicht
definiert, da es kein größte natürliche Zahl gibt.

Allerdings können die X dieser Kette zu den O in der linken,
senkrechten Spalte in Bijektion gesetzt werden, da jedem X der Kette
eineindeutig ein O der linken, senkrechten Spalte der Folge zugeordnet
werden kann.

Damit sind aber die beiden Multimengen {XXXXXXX }=MX und
{OOOOOOO ...}= MO der linken, senkrechten Spalte von gleicher
Kardinalitàt.

Die Kardinalitàt der Multimenge MO ist gleich der Kardinalitàt der
Klasse der nat. Zahlen - so sie eine hat. Nehmen wir an, die
Kardinalzahl sei aleph_0.

Wegen der Bijektion der beiden Multimengen ist damit auch die
Kardinalzahl der der Multimenge MX gleich aleph_0.

Da die Lànge der X-Kette aber nicht definiert sein kann, da sonst eine
definierte, größte nat. Zahl vorliegen würde, kann auch die
Kardinalzahl der Multimenge MX nicht definiert sein.

Damit ist aleph_0 nicht definiert und die Klasse der nat. Zahlen ist
eine echte Klasse.

Der Beweis ist nur skizziert. Ich liefere aber fehlende Beweisschritte
auf Nachfrage gerne, so gut es geht, nach, obwohl eigentlich jeder
Schritt trivial sein sollte.


Viel Spaß weiterhin
Albrecht
 

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#1 Frank Buss
23/07/2010 - 06:13 | Warnen spam
Albrecht wrote:

Ich möchte mein Argument, neu formuliert, mal wieder in Erinnerung zu
rufen:

Die beiden Aussagen "Die Folge der natürlichen Zahlen ist nach oben
unbeschrànkt" und "Die Klasse der nat. Zahlen hat eine Kardinalzahl"
sind zueinander widersprüchlich.

Beweis:

Gegeben ist die Folge der nat. Zahlen in unitàrer Schreibweise mit der
Ziffer "O"

O
OO
OOO
OOOO
...

Zu jedem endlichen Anfangsabschnitt dieser Folge làsst sich eine Kette
nach folgender Regel konstruieren:
Über der Liste der Folgenglieder wird jeweils in genau der Spalte ein
"X" gesetzt, in der mindestens ein "O" enthalten ist. Hier ein paar
Beispiele zur Veranschaulichung:

XX
O
OO

XXXX
O
OO
OOO
OOOO

X
O

usw.

Diese X-Ketten entsprechen jeweils der größten, in dem
Anfangsabschnitt enthaltenen nat. Zahl in unitàrer Schreibweise mit
der Ziffer "X".

Zur Folge der nat. Zahlen

O
OO
OOO
OOOO
...

erhàlt man nach obiger Konstruktionsregel

XXXXXXX ...
O
OO
OOO
OOOO
OOOOO
OOOOOO
...

Nun ist die Lànge der so gebildete X-Kette XXXXXXX ... nicht
definiert, da es kein größte natürliche Zahl gibt.

Allerdings können die X dieser Kette zu den O in der linken,
senkrechten Spalte in Bijektion gesetzt werden, da jedem X der Kette
eineindeutig ein O der linken, senkrechten Spalte der Folge zugeordnet
werden kann.

Damit sind aber die beiden Multimengen {XXXXXXX }=MX und
{OOOOOOO ...}= MO der linken, senkrechten Spalte von gleicher
Kardinalitàt.

Die Kardinalitàt der Multimenge MO ist gleich der Kardinalitàt der
Klasse der nat. Zahlen - so sie eine hat. Nehmen wir an, die
Kardinalzahl sei aleph_0.



Wie kommst du darauf, daß MO und MX Multimengen sind? Ich habe ja nicht
viel Ahnung von Mathematik (bin daher auch in guter Gesellschaft in dieser
Newsgroup) aber laut Wikipedia können in Multimengen dieselben Elemente
mehrfach vorkommen. MO sieht aber nach meinem Verstàndis davon, was du
geschrieben hast, so aus: { O, OO, OOO, OOOO, ... }.

Mit MX meinst du dann wohl diese Menge { X, XX, XXX, XXX, ...} ? Gebildet
wird die, indem man von jedem endlichen Anfangsabschnitt von MO jeweils das
letzte Element nimmt und alle Os in Xs umwandelt, was gleichbedeutent damit
ist, wenn man die Elemente dieses Anfagsabschnitts von MO untereinander
schreibt und die Os der ersten Spalte nebeneinander schreibt und dann alle
Os in Xs umwandelt.

Wegen der Bijektion der beiden Multimengen ist damit auch die
Kardinalzahl der der Multimenge MX gleich aleph_0.



Das würde ich auch so sehen.

Da die Lànge der X-Kette aber nicht definiert sein kann, da sonst eine
definierte, größte nat. Zahl vorliegen würde, kann auch die
Kardinalzahl der Multimenge MX nicht definiert sein.



Den Schluss verstehe ich aber nicht, kannst du das genauer erklàren? Für
mich zeigt die X-Kette immer nur für jeden endlichen Anfangsabschnitt die
Kardinalitàt an. Man kann aber nicht tatsàchlich eine unendliche Menge von
X hinschreiben, denn das wàren ja eine bestimmte Lànge der X-Kette und
daher nicht unendlich, denn man könnte dann noch ein X dazuschreiben.

Damit ist aleph_0 nicht definiert und die Klasse der nat. Zahlen ist
eine echte Klasse.



Was meinst du mit "echte Klasse"? Wikipedia sagt, daß jede Menge eine
Klasse ist, aber eine "echte Klasse" gewisse Axiome der Mengenlehre nicht
erfüllt. Welche Axiome wàren das hier? Dir ist klar, daß aleph_0 nicht
Element der Menge der natürlichen Zahlen ist?

Frank Buss,
http://www.frank-buss.de, http://www.it4-systems.de

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