Die Loesung

21/01/2012 - 08:49 von WM | Report spam
Die mengentheoretische Definition des Grenzwertes einer Mengenfolge
findet man in Das Kalenderblatt 100728
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%20401-600.pdf

Doch ist sie für das Verstàndnis gar nicht nötig, wenn man Fraenkels
Tristram-Shandy-Interpretation kennt:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12c.PPT#395,21,Folie 21

Etwas (genauer um 364, 25) vereinfacht, ergibt sich folgende
anschauliche Mengenfolge:

Zu einer zunàchst leeren Menge M werden der Größe nach unendlich viele
Paare von natürlichen Zahlen 1,2; 3,4; 5,6; ... hinzugefügt, und
direkt nach jeder Operation wird die kleinste Zahl der Menge wieder
entnommen.

Wenn das Komma die Menge M von den daraus wieder entfernten Zahlen
abgrenzt, so findet man die Mengenfolge vor dem Komma, die die
entfernten Zahlen dahinter:
2,1
43,21
654,321
8765,4321
...

Wer PowerPoint hat, kann die Folge in ihrer Entstehung betrachten.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12c.PPT#402,24,Folie 24

Spàter wird die Notation allerdings unübersichtlich, weil mehrstellige
Zahlen vorkommen. Setzt man für eine gerade Zahl 1 und für eine
ungerade Zahl 0, so erhàlt man

1,0
10,10
101,010
1010,1010
...

Diese Ziffernfolge làsst sich rekursiv durch

f(n) = 10^(n-1) + f(n-1)/10 mit dem Anfangsglied f(0) = 0 [1]

bzw.

f(n) = 10^(1-n) + 10*f(n-1) mit dem Anfangsglied f(0) = 0 [2]

angeben:

1
10,1
101,01
1010,101
...

Die mathematische Beschreibung ist eindeutig: Die Folge divergiert
gegen den uneigentlichen Grenzwert oo. (Ich möchte bei reellen Folgen,
die jede Schranke übersteigen, nicht von Konvergenz sprechen.)

Die Kardinalzahlen der Indexmengen von Vorkomma-Indizes und Nachkomma-
Indizes divergieren gegen unendlich (oder aleph_0)

Die mengentheoretische Beschreibung der Grenzmengen der Indexmengen
ist von der Wahl des Standpunktes und von nicht formelmàßig
niedergelegtem Wissen (bzw. Glauben) abhàngig. Benutzt man das durch
Formel [1] beschriebene, oben erlàuterte Bild, so ist der Grenzwert
der Folge der Indexmengen vor dem Komma die leere Menge. Die Menge der
Indizes nach dem Komma ist |N, denn jeder Index wandert irgendwann
hinter das Komma (Tristram Shandy beschreibt jeden Tag).

Wendet man dagegen Formel [2] an, so ergibt sich zwar mathematisch
genau dieselbe Folge, aber nun stehen die zur Menge M hinzugefügten
Zahlen rechts des Kommas, die entfernten links (wobei hier 0 eine
gerade und 1 eine ungerade Zahl repràsentieren, doch besàße die Folge
auch ohne diese Vertauschung mathematisch dasselbe Verhalten). Nun ist
der Grenzwert der Indexmengen der Stellen nach dem Komma die leere
Menge, weil von jedem Index bekannt ist, wann er vor das Komma rückt.

Grenzwerte, die sich nicht allein aus den endlichen Gliedern einer
Folge berechnen lassen, sondern darüber hinaus Insiderwissen erfordern
und von der Indizierung abhàngen, sind unsinning, in jedem Falle aber
unwissenschaftlich und unbrauchbar.

Gruß, WM
 

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#1 Vogel
21/01/2012 - 17:13 | Warnen spam
WM wrote in news:69d48a97-648a-453c-acb0-
:

Die mengentheoretische Definition des Grenzwertes einer Mengenfolge



Ist Privatmathematik.



Auf einer 'Menge' ist keine Folgeordnung definiert, insofern gibt es auch
keinen Grenzwert in einer Menge.




mathematischen
findet man in Das Kalenderblatt 100728
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%20401-600.pdf



Nur weil du es niedergeschrieben hast ist es trotzdem nicht, kein Unfug.

Zu einer zunàchst leeren Menge M werden der Größe nach unendlich viele
Paare von natürlichen Zahlen 1,2; 3,4; 5,6; ... hinzugefügt, ...



Lern mal was eine Menge ist.



Mengenfolgen gibt es nur in deiner Privatmathematik.

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