Die Mengenlehre ist widersprüchlich...

19/08/2009 - 03:30 von Herbert Newman | Report spam
...zumindest die naive. ;-)

Hier habe ich noch eine schöne (offenbar nicht so bekannte) Antinomie der
naiven Mengenlehre.

Def. Eine Menge M heißt /unfundiert/, wenn es eine Folge (A_i) von (nicht
notwendigerweise verschiedenen) Mengen A_1, A_2, ... gibt, so dass

... e A_3 e A_2 e A_1 e M

gilt. Andernfalls heißt die Menge /fundiert/.

Sei nun B die Menge _aller_ fundierten Mengen. Dann gilt für jede Menge M:

M e B <-> M ist fundiert. (*)

Es stellt sich nun die Frage: Ist B fundiert (oder nicht)?

Angenommen B ist unfundiert. Dann gibt es eine Folge (A_i) von (nicht
notwendigerweise verschiedenen) Mengen, so dass

... e A_3 e A_2 e A_1 e B (**)

gilt. Wegen A_1 e B gilt mit (*): A_1 ist fundiert. Wegen (**) gilt aber

... e A_3 e A_2 e A_1 ;

d. h. A_1 ist unfundiert. Widerspruch!

Angenommen B ist fundiert. Dann gilt mit (*): B e B. Es gibt dann aber eine
Folge (A_i) von (nicht notwendigerweise verschiedenen) Mengen, so dass

... e A_3 A_2 e A_1 e B

gilt. Nàmlich die Folge (A_i) mit A_i = B für alle i e N.
D. h. B ist unfundiert. Widerspruch!

Kurz: In jedem Fall ergibt sich ein Widerspruch! Mithin haben wir es hier
also mit einer profunden Antinomie (der naiven ML) zu tun.

(Mir scheint aber eine gewisse Verwandtschaft zur Russellschen Antinomie
gegeben zu sein.)

Welche Konsequenz können wir daraus ziehen?

Offenbar ist es so, dass _nicht jede_ Bedingung (jede Eigenschaft, jedes
Pràdikat) eine Menge "bestimmt" (in dem Sinn, dass gilt, dass ein Ding
genau dann Element der besagten Menge ist, wenn diese Bedingung erfüllt
ist). Beispiele für solche Bedingungen wàren z. B.

x !e x
und
x ist fundiert.



Herbert
 

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#1 Stephan Lukits
19/08/2009 - 06:23 | Warnen spam
Herbert Newman schrieb:
[...]
Offenbar ist es so, dass _nicht jede_ Bedingung (jede Eigenschaft, jedes
Pràdikat) eine Menge "bestimmt" (in dem Sinn, dass gilt, dass ein Ding
genau dann Element der besagten Menge ist, wenn diese Bedingung erfüllt
ist). Beispiele für solche Bedingungen wàren z. B.

x !e x
und
x ist fundiert.



und x = x

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