Die Nullpunktenergie gehorcht der Maxwell-Boltzmann-Verteilung

10/06/2011 - 14:21 von Wayne Wells | Report spam
.. weil der Casimir - Druck wie der Luftdruck ist !!

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung oder auch maxwellsche
Geschwindigkeitsverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der
statistischen Physik und spielt in der Thermodynamik, speziell der
kinetischen Gastheorie, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die
Verteilung des Betrags v = |\vec{v}| der Teilchengeschwindigkeiten in
einem idealen Gas. Abgeleitet wurde sie 1860 von James Clerk Maxwell
und Ludwig Boltzmann, denen sie auch ihren Namen verdankt.

In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der
gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch verteilt mit
verschiedenen Geschwindigkeiten. Es wird hierbei keine Raumrichtung
bevorzugt, die Bewegungsrichtung ist also rein zufàllig (brownsche
Molekularbewegung). Mathematisch làsst sich dies so formulieren, dass
die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors \vec{v} eines Gasteilchens
der Masse m unabhàngig voneinander und normalverteilt sind, mit den
Parametern

\mu = 0,\,\sigma = \sqrt{\frac{k_B T}{m}}

Die Dichte der Verteilung von \vec{v} ergibt sich somit als das
Produkt

p(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi k_B T}ight)^{3/2} \mathrm e^{-
\frac{m \vec{v}^2}{2k_B T}}

der Verteilungen der Komponenten. Die Verteilung des Betrags der
Geschwindigkeit erhàlt man, indem man die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe
eines Volumenintegrals berechnet

P\left(|\vec{v}| \leq vight) = \int_{B_v(0)} p(\vec{v})\ dV

Da der Integrand aber nur vom Betrag v = |\vec{v}| abhàngt, kann man
mit der Hilfsfunktion \tilde{p}(v) = p(|\vec{v}|) das Volumenintegral
über die dreidimensionale Kugel Bv(0) über ein eindimensionales
Integral berechnen

\int_{B_v(0)} p(\vec{v})\ dV = 4\pi \int_0^v u^2 \tilde{p}(u)\ du

Die Wahrscheinlichkeitsdichte p(v) ergibt sich dann durch Ableiten von
P\left(|\vec{v}| \leq vight) nach v zu

p(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}ight)^{3/2} v^2 \exp\left(-
\frac{m v^2}{2k_B T}ight)

Die vereinfachende Voraussetzung eines idealen Gases innerhalb der
Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegenüber der Geschwindigkeitsverteilung
der Teilchen eines realen Gases führen zu einer Abweichung, falls man
diese auf reale Gase anwendet. Die Approximation der Maxwell-Boltzmann-
Verteilung auf reale Gase ist hierbei umso besser, je schwàcher der
reale Charakter des Gases ist. Im Falle eines niedrigen Druckes und
einer hohen Temperatur ist diese Nàherung für die meisten
Betrachtungen ausreichend.
Inhaltsverzeichnis
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1 Formulierung der Geschwindigkeitsverteilung
2 Bedeutung und Anwendungsbereich
2.1 Folgerungen aus den Gleichungen
2.2 Bedeutung für die Thermodynamik
3 Teilchengeschwindigkeiten
3.1 Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
3.2 Mittlere Geschwindigkeit
3.3 Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit
3.4 Harmonischer Mittelwert
3.5 Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten
4 Herleitung
5 Siehe auch

Formulierung der Geschwindigkeitsverteilung [Bearbeiten]

Die Dichte der Verteilung ist im dreidimensionalen Raum in zwei
verschiedenen Schreibweisen gegeben durch:

F(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m_\text{M}}{k_\mathrm{B}
T} ight)^{3/2} v^2 \exp\left( -\frac{m_\text{M} v^2}{2k_\mathrm{B}T}
ight) = 4 \pi \left( \frac{M}{2\pi R T} ight)^{3/2} v^2 \exp
\left( -\frac{M v^2}{2 R T} ight)

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

v – Teilchengeschwindigkeit
kB – Boltzmann-Konstante
R – universelle Gaskonstante
mM – Teilchenmasse
M – molare Masse
T – Temperatur

Bei einer eindimensionalen Betrachtung lautet die Maxwell-Boltzmann-
Verteilung:

F(v) = \sqrt{\frac{m_\text{M}}{2\pi k_\mathrm{B}T}} \exp\left( -
\frac{m_\text{M} v^2}{2 k_\mathrm{B}T} ight) ,

wobei die Geschwindigkeit v nur in eine Richtung (und ihre
Gegenrichtung) weisen kann, beispielsweise in +x-Richtung und -x-
Richtung.

Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit
zwischen v1 und v2 besitzt errechnet sich, unabhàngig von der
Dimension, aus:

w = \int_{v1}^{v2} F(v)\, \mbox{d} v

Der Anteil f der Teilchen in diesem Geschwindigkeitsintervall (Δv = v2
- v1) errechnet sich, als Nàherung für ein möglichst kleines
Geschwindigkeitsintervall, aus:

f = F(v1)Δv

Bedeutung und Anwendungsbereich [Bearbeiten]
Folgerungen aus den Gleichungen [Bearbeiten]
Stoffabhàngigkeit der Geschwindigkeitsverteilung bei 0 °C:
Wasserstoff – mM(H2) = 2 u
Stickstoff – mM(N2) = 28 u
Chlor – mM(Cl2) = 71 u
Temperaturabhàngigkeit der Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoff

Aus obigen Gleichungen folgt, dass der Anteil f der Teilchen im
Geschwindigkeitsintervall Δv direkt proportional zu Δv selbst ist,
solange F(v) konstant bleibt. Wird Δv also geringfügig erhöht bzw.
bezieht man mehr Geschwindigkeiten mit in das Intervall ein, unter der
zusàtzlichen Annahme Temperatur und molare Masse seien konstant, so
steigt die Anzahl der in ihm befindlichen Teilchen bis auf geringe
Abweichungen proportional zu Δv an. Mit anderen Worten: Die
Verteilungsfunktion ist differenzierbar.
Die Verteilungsfunktion besitzt eine abfallende
Exponentialfunktion der Form e-x mit x = Mv2/2RT. Da der Ausdruck x
sich bei konstanter Temperatur und konstanter molarer Masse direkt
proportional zum Quadrat der Teilchengeschwindigkeit v2 verhàlt, làsst
sich hieraus schlussfolgern, dass die Exponentialfunktion und damit in
eingeschrànktem Umfang auch der Anteil der Moleküle für große
Geschwindigkeiten sehr klein und dementsprechend für kleine
Geschwindigkeiten sehr groß wird (für den exakten Zusammenhang siehe
die Abbildungen zur Rechten).
Für Gase mit einer großen molaren Masse M wird der Ausdruck x,
unter Annahme einer konstanten Temperatur, ebenfalls sehr groß und die
Exponentialfunktion nimmt folglich schneller ab. Dies bedeutet, dass
die Wahrscheinlichkeit schwere Moleküle bei großen Geschwindigkeiten
anzutreffen sehr klein ist und dementsprechend sehr groß für leichtere
Moleküle mit einer geringen molaren Masse (siehe Abbildung oben
rechts).
Im gegensàtzlichen Fall einer großen Temperatur und einer
konstanten molaren Masse wird der Ausdruck x sehr klein und die
Exponentialfunktion geht dementsprechend bei einer ansteigenden
Geschwindigkeit schneller gegen Null. Bei einer sehr hohen Temperatur
ist der Anteil der Teilchen daher geringer als bei einer niedrigeren
Temperatur (siehe Abbildung unten rechts).
Je geringer die Geschwindigkeit, desto stàrker nimmt der
quadratische Ausdruck v2 außerhalb der Exponentialfunktion ab. Dies
bedeutet, dass auch der Anteil der schnelleren Moleküle bei geringen
Geschwindigkeiten schneller abnimmt als die Geschwindigkeit selbst, im
Gegenzug jedoch auch, dass dieser bei einem Geschwindigkeitszunahme
quadratisch zunimmt.

Alle anderen Größen bedingen, dass sich der Anteil der Teilchen bei
einer bestimmten Geschwindigkeit immer im Intervall zwischen null und
eins bewegt ([0,1]). Die beiden Abbildungen zur Rechten verdeutlichen
die Abhàngigkeit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung von Teilchenmasse
und Temperatur des Gases. Mit steigender Temperatur T nimmt die
durchschnittliche Geschwindigkeit zu und die Verteilung wird
gleichzeitig breiter. Mit steigender Teilchenmasse mM hingegen nimmt
die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die
Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeitig schmaler. Dieser
Zusammenhang zwischen Teilchengeschwindigkeit und Temperatur bzw.
Teilchengeschwindigkeit und Teilchenmasse/molare Masse ist hierbei
auch quantitativ beschreibbar. Siehe hierzu den Abschnitt quadratisch
gemittelte Geschwindigkeit.
Bedeutung für die Thermodynamik [Bearbeiten]

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung erklàrt beispielsweise den Prozess
der Verdunstung. Beispielsweise kann feuchte Wàsche bei Temperaturen
von 20 °C trocknen, da es in dieser Verteilungskurve einen geringen
Anteil von Molekülen mit der erforderlich hohen Geschwindigkeit gibt,
welche sich aus dem Flüssigkeitsverband lösen können. Es wird also
auch bei niedrigen Temperaturen immer einige Moleküle geben, die
schnell genug sind, die Anziehungskràfte durch ihre Nachbarn zu
überwinden und vom flüssigen oder festen Aggregatzustand in den
gasförmigen Aggregatzustand überzugehen, was man als Verdampfung bzw.
Sublimation bezeichnet. Umgekehrt gibt es aber auch unter den
vergleichsweise schnellen Teilchen des Gases immer einige, die keine
ausreichende Geschwindigkeiten besitzen und daher wieder vom
gasförmigen in den flüssigen oder festen Aggregatzustand wechseln, was
man als Kondensation bzw. Resublimation bezeichnet. Diese Vorgànge
werden unter dem Begriff der Phasenumwandlung zusammengefasst, wobei
sich zwischen Teilchen, die in die Gasphase eintreten, und Teilchen,
die aus der Gasphase austreten, insofern es keine Störungen von außen
gibt, ein dynamisches Gleichgewicht einstellt. Dieses ist
Untersuchungsgegenstand der Gleichgewichtsthermodynamik, daher nennt
man es auch thermodynamisches Gleichgewicht. Die Teilchen der
gasförmigen Phase üben hierbei im Gleichgewichtszustand einen Druck
aus, den man als Sàttigungsdampfdruck bezeichnet. Grafisch dargestellt
wird das Phasenverhalten von Stoffen in deren Phasendiagramm.

Siehe auch: Zustandsgleichung, Fundamentalgleichung, Thermodynamisches
Potenzial, Ideales Gas, Reales Gas, Tripelpunkt, Kritischer Punkt
Teilchengeschwindigkeiten [Bearbeiten]
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit [Bearbeiten]

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit

\hat{v} = {\sqrt{\frac{2 k_\mathrm{B} T}{m_\text{M}}}} \sqrt{\frac{2 R T}{M}}

ist die Geschwindigkeit, an der die Verteilungsfunktion F(v) ihren
maximalen Wert hat. Sie kann aus der Forderung \frac{\text{d}F(v)}
{\text{d}v} = 0 berechnet werden.
Mittlere Geschwindigkeit [Bearbeiten]

Die mittlere Geschwindigkeit \bar v ist definiert durch:

\bar v := {\frac{v_1 + v_2 + v_3 + \ldots + v_N}{N}}

Hierbei sind vn (n = 1, 2, 3, \ldots, N) die einzelnen
Geschwindigkeiten der Teilchen und N deren Gesamtzahl.

\bar v = \int_0^{\infin} v \, F(v) \, \text{d}v

Als Lösung des Integrals erhàlt man:

\bar v = \sqrt{\frac{8 k_\mathrm{B} T}{\pi m_\text{M}}} \sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}

Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit [Bearbeiten]

Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit \sqrt {\overline{v^2}} ist
definiert durch:

\sqrt {\overline{v^2}} := \sqrt {{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + \ldots +
v_N^2} \over {N}}

Aus der kinetischen Gastheorie ergibt sich folgende Zustandsgleichung:

p V = \frac{1}{3} n M \overline{v^2}

Die empirisch ermittelte Zustandsgleichung idealer Gase ist hierbei:

pV = nRT

Setzt man den Ausdruck pV gleich erhàlt man:

\frac{1}{3} n M \overline{v^2} = n R T

Umgestellt nach \overline{v^2} erhàlt man schließlich:

\sqrt {\overline{v^2}} = \sqrt { \frac{3 k_\mathrm{B} T}{m_
\mathrm{M}} } = \sqrt { \frac{3 R T}{M} }

Hierbei zeigt sich, dass die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit
der Gasteilchen direkt proportional zur Quadratwurzel der Temperatur
ist, insofern die molare Masse konstant bleibt, was jedoch im
Allgemeinen der Fall ist.

Daraus làsst sich, unter der Annahme einer konstanten molaren Masse,
ein wichtiger Grundsatz ableiten:

Eine Verdopplung der Temperatur auf der Kelvin-Skala führt zu einer
Erhöhung der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit um den Faktor
\sqrt {2} \approx 1,4142.

Durch diese Grundbeziehung làsst sich die Abhàngigkeit der Temperatur
von der Geschwindigkeit der Teilchen nicht nur qualitativ, sondern
auch quantitativ ableiten. Die Temperatur ist also auf diesem Wege
durch die kinetische Gastheorie definierbar.
Unter der Annahme einer konstanten Temperatur und einer variablen
molaren Masse zeigt sich hierbei in gleicher Form die Abhàngigkeit
zwischen dieser und der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit, wobei
beide jedoch im Gegensatz zur Temperatur indirekt proportional
zueinander sind, wie aus obiger Gleichung auch ersichtlich ist.

Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man F(v) in folgende
Gleichung substituiert und anschließend integriert:

\sqrt {\overline{v^2}} = \sqrt{\int v^2 \, F(v) \, dv}

Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ist dabei aber auch ein Maß
für die mittlere kinetische Energie (Ekin) der Moleküle:

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v_n^2 \qquad \qquad \qquad
\overline{E_\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} m \overline{v^2}

Umgestellt ergibt sich hieraus:

\sqrt {\overline{v^2}} = \sqrt {\frac {2 \overline{E_\mathrm{kin}}}
{m_\mathrm{M}}}

Harmonischer Mittelwert [Bearbeiten]

Für Zwecke der Stoßzeiten usw. benötigt man einen weiteren Mittelwert,
harmonischer Mittelwert genannt. Der harmonische Mittelwert \breve v
ist definiert durch:

\frac{1}{\breve v} := \frac{1}{N} \cdot \left(\frac{1}{v_1} +
\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \ldots + \frac{1}{v_N}ight)

Hierbei sind vn (n = 1, 2, 3,\ldots, N) die einzelnen
Geschwindigkeiten der Teilchen und N deren Gesamtzahl.

\frac{1}{\breve v} = \int_0^{\infin} \frac{F(v)}{v} \, \text{d}v

Durch Substitution von \frac{m_\text{M} v^2}{2 k_\mathrm{B}T} = z und
v~d v = \frac{k_\mathrm{B}T}{m_\text{M}} d z und integrieren erhàlt
man:

\frac{1}{\breve v} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{m_
\text{M}}{k_\mathrm{B}T}} = \sqrt{\frac{2 m_\text{M}}{\pi k_\mathrm{B}
T}}

oder

\breve v = \sqrt{\frac{\pi k_\mathrm{B}T}{2 m_\text{M}}} \sqrt{\frac{\pi R T}{2 \text{M}}}

Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten [Bearbeiten]
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoff

Im Bild zur Rechten ist die Maxwell-Boltzmannsche
Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoff (N2) bei drei verschiedenen
Temperaturen abgebildet. Es ist auch die wahrscheinlichste
Geschwindigkeit und die mittlere Geschwindigkeit eingezeichnet. Dabei
gilt immer, dass die wahrscheinlichste Geschwindigkeit kleiner als die
mittlere Geschwindigkeit ist. Allgemein gilt:

\hat v < \bar v < \sqrt {\overline{v^2}}

Der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten ergibt sich dabei aus:

\bar v = \sqrt{8 \over {3 \pi}} \cdot \sqrt {\overline{v^2}}
\approx 0{,}921 \cdot \sqrt {\overline{v^2}}

Umrechnungsfaktoren zwischen den verschiedenen
Teilchengeschwindigkeiten (gerundet) nach↓ \ von→ \hat v \bar v
\sqrt {\overline{v^2}} \breve v
\hat v 1 0,886 0,816 1,128
\bar v 1,128 1 0,921 1,273
\sqrt {\overline{v^2}} 1,225 1,085 1 1,382
\breve v 0,886 0,785 0,724 1
Beispielwerte für die verschiedenen Teilchengeschwindigkeiten T \ v
\hat v \bar v \sqrt {\overline{v^2}} \breve v
100 K (−173,15 °C) 243,15 m/s 274,36 m/s 297,79 m/s 411,54 m/s
300 K (26,85 °C) 421,15 m/s 475,20 m/s 515,78 m/s 712,79 m/s
800 K (526,85 °C) 687,74 m/s 776,02 m/s 842,29 m/s 1164,02 m/s
Umrechnungsfaktoren zwischen den verschiedenen
Teilchengeschwindigkeiten (genau) nach↓ \ von→ \hat v \bar v
\sqrt {\overline{v^2}} \breve v
\hat v 1 \frac{\sqrt {\pi}}{2} \sqrt {\frac{2}{3}} \frac{2}{\sqrt
{\pi}}
\bar v \frac{2}{\sqrt {\pi}} 1 \sqrt {\frac{8}{3 \pi}} \frac{4}
{\pi}
\sqrt {\overline{v^2}} \sqrt {\frac{3}{2}} \sqrt {\frac{3 \pi}{8}}
1 \sqrt {\frac{6}{\pi}}
\breve v \frac{\sqrt {\pi}}{2} \frac{\pi}{4} \sqrt {\frac{\pi}{6}}
1
\sqrt{\frac{k_\mathrm{B}T}{m_\text{M}}} \sqrt {2} \sqrt {\frac{8}
{\pi}} \sqrt {3} \sqrt {\frac{\pi}{2}}
Herleitung [Bearbeiten]

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung làsst sich mit den Methoden der
statistischen Physik herleiten. Man betrachtet ein N-Teilchensystem
mit der Hamilton-Funktion

H=\sum_{i=1}^{N}\frac{p_{i}^{2}}{2m}+U(\vec{x}_{1}, \ldots,\vec{x}
_{N})

Zur Herleitung wird nur die Annahme gemacht, dass das Potential U
konservativ, also von den pi unabhàngig ist. Daher gilt die folgende
Herleitung auch für reale Gase.

Das System befinde sich im kanonischen Zustand mit der
Phasenraumdichte

w=\frac{1}{Z(\beta)}e^{-\beta H(\vec{x}_{1},\vec{p}_{1},\, \ldots
\,,\vec{x}_{N},\vec{p}_{N})}

und der kanonischen Zustandssumme

Z(\beta)=\int_{\mathbb{R}^{6N}}e^{-\beta H(\vec{x}_{1},\vec{p}_{1},
\,\ldots\,,\vec{x}_{N},\vec{p}_{N})} \text{d}\tau mit \text{d}\tau\frac{1}{N!(2\pi\hbar)^{3N}}\; \text{d}^{3}x_1 \text{d}^{3}p_1\,\ldots
\, \text{d}^{3}x_N \text{d}^{3}p_N

Der Parameter β ist proportional zur inversen Temperatur

\beta=\frac{1}{k_{{m B}}T}

Der Erwartungswert einer klassischen Observablen ist gegeben durch

\langle oangle=\int_{\mathbb{R}^{6N}}o\, w\, \text{d}\tau

Für die Transformation von Wahrscheinlichkeitsdichten gilt: Gegeben
sei eine Zufallsvariable X und eine Wahrscheinlichkeitsdichte
\mathcal{P}_X:\;\mathbb{R}^nightarrow\mathbb{R} und eine Abbildung Y:
\;\mathbb{R}^nightarrow\mathbb{R}^m. Dann ist \mathcal{P}_Y(y)\int_{\mathbb{R}^n}\delta(y-Y(x))\,\mathcal{P}_X(x) \,\text{d}x \langle \delta(y-Y(x))angle die Wahrscheinlichkeitsdiche der
Zufallsvariablen Y.

Nun können wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls \vec{p}
irgendeines Teilchens j\in\left\{ 1,\ldots,Night\} des Systems
berechnen. Nach obigem Transformationssatz gilt:

\mathcal{P}_{\vec{p}_j}(\vec{p})=\langle\delta(\vec{p}_j-\vec{p})
angle=\int_{\mathbb{R}^{6N}}\delta(\vec{p}_j-\vec{p})\, w\, \text{d}
\tau = \frac{1}{Z(\beta)}\int_{\mathbb{R}^{6N}}\delta(\vec{p}_j-
\vec{p})\, e^{-\beta H} \, \text{d}\tau =\frac{\int_{\mathbb{R}^{6N}}{\delta }(\vec{p}_{j}-\vec{p})\,e^{-
\beta H}\,\text{d}\tau }{\int_{\mathbb{R}^{6N}}{e^{-\beta H}}\,\text{d}
\tau }=\frac{\int_{\mathbb{R}^{3N}}{e^{-\beta U}\,\text{d}^{3}x_{1}\,
\ldots\,\text{d}^{3}x_{N}\;}\ \int_{\mathbb{R}^{3N}}{\delta (\vec{p}
_{j}-\vec{p})\,e^{-\frac{\beta }{2m}\sum_{i=1}^{N}{p_{i}^{2}}}\,
\text{d}p_{1}\,\ldots\,\text{d}^{3}p_{N}\;}}{\int_{\mathbb{R}^{3N}}
{e^{-\beta U}\,\text{d}^{3}x_{1}\,\ldots\,\text{d}^{3}x_{N}\;}\
\int_{\mathbb{R}^{3N}}{e^{-\frac{\beta }{2m}\sum_{i=1}^{N}{p_{i}^{2}}}
\,\text{d}^{3}p_{1}\,\ldots\,\text{d}^{3}p_{N}\;}}

Alle Orts-Integrationen lassen sich kürzen, sowie alle Impuls-
Integrationen für ieq j. Somit bleibt nur noch die pj-Integration
übrig.

\mathcal{P}_{\vec{p}_{j}}(\vec{p})=\frac{\int_{\mathbb{R}^{3}}
\delta(\vec{p}_{j}-\vec{p})\, e^{-\frac{\beta}{2m}p_{j}^{2}} \,\text{d}
^3 p_j}{\int_{\mathbb{R}^{3}}e^{-\frac{\beta}{2m}p_{j}^{2}} \text{d}^3
p_j}

Zur Auswertung dieses Ausdrucks nutzt man im Zàhler die
Faltungseigenschaft der Delta-Distribution

\int_{\mathbb{R}^{3}}{\delta }(\vec{x}-\vec{x}_{0})f(\vec{x})\,
\text{d}^{3}x=f(\vec{x}_{0})

Im Nenner integriert man über eine Gauß-Funktion; die Integration in
drei Dimensionen làsst sich auf ein eindimensionales Integral
zurückführen mit x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}

\int_{\mathbb{R}^{3}}{e^{-a x^{2}}\text{d}^{3}x}=\int_{\mathbb{R}
^{3}}{e^{-ax_{1}^{2}}e^{-ax_{2}^{2}}e^{-ax_{3}^{2}}\text{d}
x_{1}\text{d}x_{2}\text{d}x_{3}}=\left( \int_{-\infty }^{\infty }{e^{-
ax^{2}}\text{d}x} ight)^{3}\,=\left( \frac{\pi }{a} ight)^{\frac{3}
{2}}

Man erhàlt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls irgendeines
Teilchens:

\mathcal{P}_{\vec{p}_{j}}(\vec{p})=\left(\frac{\beta}{2m\pi}
ight)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{\beta}{2m}p^{2}}

Der Vorfaktor (\tfrac{\beta}{2m\pi})^{3/2}=(\tfrac{\lambda}{h})^{3}
entspricht im Wesentlichen der thermischen De-Broglie-Wellenlànge λ.

Damit làsst sich die Wahrscheinlichkeitsdichte für den
Geschwindigkeitsbetrag v=|\vec{p}|/m mit dem Transformationssatz
ermitteln

\mathcal{P}(v)=\int_{\mathbb{R}^{3}}\mathcal{P}_{\vec{p}_{j}}
(\vec{p})\,\delta(v-\frac{|\vec{p}|}{m}) \, \text{d}^3 p \left(\frac{\beta}{2m\pi}ight)^{\frac{3}{2}}\int_{\mathbb{R}^{3}}e^{-
\frac{\beta}{2m}p^{2}}\,\delta(v-\frac{|\vec{p}|}{m}) \,\text{d}^3 p

Die Integration führt man in Kugelkoordinaten durch und verwendet die
Beziehung \delta(v-|\vec{p}|/m)=m\,\delta(p-mv)

\mathcal{P}(v)=\left(\frac{\beta}{2m\pi}ight)^{\frac{3}{2}}4\pi
\int_{0}^{\infty} p^{2}e^{-\frac{\beta}{2m}p^{2}}m\,\delta(p-mv) \,
\text{d}p

Nun ist wieder die Faltungseigenschaft der Delta-Distribution zu
verwenden

\mathcal{P}(v)=\left(\frac{\beta}{2m\pi}ight)^{\frac{3}{2}}
4\pi(mv)^{2}m\, e^{-\frac{\beta}{2m}(mv)^{2}}\Theta(v)\left(\frac{\beta m}{2\pi}ight)^{\frac{3}{2}}4\pi v^{2}e^{-\beta
\frac{m}{2}v^{2}}\Theta(v)

dabei ist Θ(v) die Heaviside-Sprungfunktion, die die
Wahrscheinlichkeit für negative Betragsgeschwindigkeiten verschwinden
làsst.

Setzt man für \beta=\frac{1}{k_{{m B}}T} kommt man zur Maxwell-
Boltzmann-Verteilung

\mathcal{P}(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m}{k_\mathrm{B}
T} ight)^{\frac{3}{2}} v^2 \,e^{ -\frac{m v^2}{2k_\mathrm{B}T}}\,
\Theta(v)
 

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#1 Peter
10/06/2011 - 15:24 | Warnen spam
Als Fachmann solltest Du das wissen, vielleicht kannst Du die Frage
beantworten, die beschàftigt mich schon lànger:

Gegeben sei ein leeres Raumvolumen von mindestens 10^6 Lichtjahre^3 oder
mehr.

Dieses Volumen sei völlig gleichmàssig isotrop mit Photonen erfüllt, die
dieser Maxwell Boltzmann Verteilung entsprechen.
D.h. es enthàlt nichts weiter als "Vakuumenergie".

In der Thermodynamik wird ja die Masse der Teilchen bzw. Photonen ignoriert.
Wenn man nun berücksichtigt, dass e=m*c^2 ist, dann müssen die Photonen
sich gegenseitig anziehen, bzw. ablenken.

Die Statistik besagt, dass wahrscheinliche Ereignisse oft auftreten und
dass unwahrscheinliche Ereignisse selten auftreten.

D.h. wenn man nur lange genug wartet, dann muss auch jedes
unwahrscheinliche Ereignis einmal auftreten.
Man kann die Wahrscheinlichkeit dann als Funktion der Wartezeit ansehen,
und wenn man auf unwahrscheinliche Ereignisse lànger wartet, als auf
wahrscheinliche, dann mauss man alle unterscheidbaren Ereignisse
gleichhàufig beobachten.

Wenn nun, zufàllig, die Bahnen einiger Trilliarden Photonen sich in
einem Punkt kreuzen, dann entsteht starkübhöhte Gravitation in diesem
Punkt. Müsste dann nicht der leere Raum kollabieren und einen Gasstern
oder eine Galaxie bilden?

Wie lange muss man warten, bis dies geschieht? (Im Schnitt)
Genügen 100 Millionen Jahre?

Peter

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