Die Potenzmenge ist wesentlich mehr

23/12/2010 - 23:06 von Lars | Report spam
Eben habe ich noch etwas weiter im web herumgestöbert und dazu noch den
folgenden eleganten, aber im "Wesen" üblichen, Beweis gefunden. Dazu
wieder am Ende eine Frage zu meinen Überlegungen, danke im vorraus!

Der Beweis geht etwa so:

Behauptung: card(M) <= card(P(M))

Dazu: Angabe der Existenz der Injektion j: M -> P(M), j(x) = {x}
Annahme: es gibt einen Isomorphismus i: M -> P(M)

Dann gibt es eine Menge M' = { x Element M | x nicht Element i(x) }
Mit Existenz von i gibt es dann ein x0 mit i(x0) Element von M'.

Man hat somit 2 Fàlle:

1) x0 ist Element von M', so dass

x0 Element M' = { x Element M | x nicht Element i(x) }

mit Widerspruch: x0 nicht Element i(x0) <-> x0 Element M'


2) x0 ist nicht Element von M', so dass

x0 nicht Element M' = { x Element M | x nicht Element i(x) }

mit Widerspruch: { ...| x nicht Element i(x) }, weil i(x0) Element von M'

Dann das qed, das hier darauf beruht, dass M -> P(M) ein Isomorphismus ist.

Nun ist der eigentliche Punkt mit Frage: der gleiche Beweis geht ja auch
genauso gut mit der Widerlegung, dass M -> { M vereinigt neues Element }
ein Isomorphismus ist!

Ja! Oder?

Das heisst also, dass der Beweis natürlich richtig ist, und zwar formal,
aber "im Wesen" sonst doch allein davon abhàngt, dass man i: M -> P(M)
widerlegt, was aber genauso gut u.v.a. mit i: M -> M u {neues x} geht!

Das heisst, dass die Widerlegung, dass F: M -> P(M) eine Bijektion ist,
mit einer praktisch unerschöpflichen Familie F "àhnlicher" Funktionen
ebenso "gut" funktioniert: man bekommt da heraus, was man hineinsteckt.

Oder? Wo ist mein Fehler?
 

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#1 fiesh
23/12/2010 - 23:24 | Warnen spam
On 2010-12-23, Lars wrote:
Oder? Wo ist mein Fehler?



Dein Fehler liegt darin, dass du als Karl-Heinz hier durch die Newsgroup
ziehst und Leute beleidigst, und dann denkst, eben diese Leute wuerden
dir bei deinen Kinderproblemen weiterhelfen.

fiesh

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