Die ProdModSum-Ableitung einer Zahl ist erstaunlich kurz

11/04/2014 - 02:28 von Rainer Rosenthal | Report spam
Ich zeige am Beispiel der Zahl n=4, was ich unter der
ProdModSum-Ableitung dieser Zahl verstehe.

Ich starte eine Folge mit 1, gefolgt von n. Im Beispiel
starte ich also so:

1, 4 (1)

Jetzt bilde ich das Produkt P aller Zahlen und ihre Summe S.
Das ist also P=1*4=4 und S=1+4=5. Ich betrachte "P modulo S",
also den Rest, den P beim Teilen durch S làsst. Rest(4,5)=4.
Diesen Rest hànge ich an die Folge an,die nun so aussieht:

1, 4, 4 (2)

Produkt aller Zahlen ist P = 16, Summe ist S = 9. Weil
Rest(16,9) = 7 ist, verlàngert sich die Folge zu

1, 4, 4, 7 (3)

Jetzt ist P = 112 und S = 16. Rest(112,16) ist 0. Die Null
hànge ich nicht mehr an die Folge an, weil es nun langweilig wird.
Ab jetzt sind ja alle Produkte P=0.

Damit ist die ProdModSum-Ableitung der Zahl 4 gefunden. Es ist
die Folge (3), und diese Folge hat die Lànge 4.

Für n=1 endet die Ableitung nicht, aber für alle Zahlen ab 2 scheint
sie endlich zu sein. Die Ableitungslàngen ab n=2 sind:

5,4,4,8,7,8,5,5,6,6,13,7,9,5,6,7,7,7,9,5,8,7,6,5,11,7,5,9,6,12,6,9,...

Sie wachsen erstaunlich langsam!

Lànge 15 wird erst bei n6 erreicht, steigt auf 19 bei n3,
auf 22 bei n%7 und erreicht den Wert 23 erst bei n334.
Mit Maple kam ich nach einem Weilchen bis zur Lànge 37, musste dafür
aber bis n8269261 rechnen lassen.

Mir ist noch gar nicht klar, warum diese Ableitungen überhaupt
abbrechen, und dass sie so relativ schnell abbrechen, verwundert mich
doppelt.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

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#1 Jan Fricke
12/04/2014 - 20:10 | Warnen spam
On 04/11/2014 02:28 AM, Rainer Rosenthal wrote:
Ich zeige am Beispiel der Zahl n=4, was ich unter der
ProdModSum-Ableitung dieser Zahl verstehe.

Ich starte eine Folge mit 1, gefolgt von n. Im Beispiel
starte ich also so:

1, 4 (1)

Jetzt bilde ich das Produkt P aller Zahlen und ihre Summe S.
Das ist also P=1*4=4 und S=1+4=5. Ich betrachte "P modulo S",
also den Rest, den P beim Teilen durch S làsst. Rest(4,5)=4.
Diesen Rest hànge ich an die Folge an,die nun so aussieht:

1, 4, 4 (2)

Produkt aller Zahlen ist P = 16, Summe ist S = 9. Weil
Rest(16,9) = 7 ist, verlàngert sich die Folge zu

1, 4, 4, 7 (3)

Jetzt ist P = 112 und S = 16. Rest(112,16) ist 0. Die Null
hànge ich nicht mehr an die Folge an, weil es nun langweilig wird.
Ab jetzt sind ja alle Produkte P=0.

Damit ist die ProdModSum-Ableitung der Zahl 4 gefunden. Es ist
die Folge (3), und diese Folge hat die Lànge 4.

Für n=1 endet die Ableitung nicht, aber für alle Zahlen ab 2 scheint
sie endlich zu sein. Die Ableitungslàngen ab n=2 sind:

5,4,4,8,7,8,5,5,6,6,13,7,9,5,6,7,7,7,9,5,8,7,6,5,11,7,5,9,6,12,6,9,...

Sie wachsen erstaunlich langsam!

Lànge 15 wird erst bei n6 erreicht, steigt auf 19 bei n3,
auf 22 bei n%7 und erreicht den Wert 23 erst bei n334.
Mit Maple kam ich nach einem Weilchen bis zur Lànge 37, musste dafür
aber bis n8269261 rechnen lassen.

Mir ist noch gar nicht klar, warum diese Ableitungen überhaupt
abbrechen, und dass sie so relativ schnell abbrechen, verwundert mich
doppelt.



Hallo Rainer,
das scheint sogar noch allgemeiner zu gelten:

Man starte mit ganzen Zahlen p>1 und s>0. Dann bildet man den Rest r bei
der Division von p durch s. Die neuen Werte sind dann p*r und s+r, so
lange, bis p=0 ist.

Auch das scheint immer zu terminieren.


Viele Grüße Jan

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