Die Riemannsche Vermutung

15/10/2007 - 17:47 von Rijndael | Report spam
Hallo zusammen,
ich beginne gerade mit der Bearbeitung meiner Diplomarbeit. Mein Thema
handelt von den Eigenschaften von Primzahlen und deren visuellen
Darstellung in einem Programm. Zur Einstimmung aufs Thema lese ich
"Die Musik der Primzahlen", dass in nicht mathematisch formaler Weise
von der Geschichte der Primzahlen und vor allem der Riemannschen
Vermutung "erzàhlt". Zur Riemannschen Vermutung habe ich mehrere
Fragen, weil ich einige Dinge nicht verstehe oder mir nicht vorstellen
kann.

Zu dem was ich meine verstanden zu haben:
Riemann hat in die Zeta-Funktion zeta(n) = (1/1)^n + (1/2)^n + .. + (1/
n)^n komplexe Zahlen eingesetzt. Weil nicht an jeder Stelle
"vernünftige" Werte geliefert wurde, hat er diese Funktion zur Riemann-
Zeta Funktion erweitert.
Mein erstes Problem liegt im Ausrechnen dieser Funktion. Wie kann ich
z.B. die 2 zur Potenz 0.5+3i erheben? Davon habe ich (leider) keinen
Schimmer, habe dazu aber auch nichts in Büchern gefunden?

Die Funktion Zeichnerisch als Graph darzustellen funktioniert nicht,
man kann bestenfalls Real- und Imaginàrteil getrennt in einem 3D-
Koordinatensystem darstellen. Das geschieht z.B. hier
http://mathworld.wolfram.com/Rieman...tion.html.
Ich stelle mir das so vor, dass z.B. zeta(0.5+3i) ein Ergebnis aus den
komplexen Zahlen liefert sagen wir (r+ai). Meine Frage ist: Wird in
dem Realanteil-Graphen aus http://mathworld.wolfram.com/Rieman...ction.html
auch tatsàchlich nur "r" abgetragen in Richtung der Y-Achse abgetragen
und im Imaginàr-Graphen nur "ai" bzw. "a".

Ich verstehe ich die Erweiterung Riemanns der Zeta Funktion nicht. Die
ürsprungliche Zeta-Funktion zeta(n) = (1/1)^n + (1/2)^n + .. + (1/n)^n
"erzeugt" für alle Zahlen <=1 unendlich große Werte, dass aber doch
nur an der Stelle an der i=0 ist, also a+0i für a <=1. Warum wurde
diese Funktion erweitert, was hat Riemann genau
erweitert. Hàtte Riemann die Vermutung ohne die Erweiterung überhaupt
so àußern können? Denn die von ihm vermutete kritische Gerade liegt
bei 1/2 + ai für alle a aus den reellen Zahlen (ich hoffe das ist
korrekt).

Die grundlegende Frage die ich mir stelle ist: Wie kann man mithilfe
der Vermutung die Anzahl der Primzahlen bis zu einer natürlichen Zahl
N abschàtzen? Die Funktion erwartet doch eine komplexe Zahl als
Eingabe und eben keine natürliche. Das Ergebnis muss auch eine
komplexe Zahl sein aber wie komme ich damit zur Abschàtzung und vor
allem: Was hat das mit den Nullstellen der Funktion zu tun? Wie komme
ich von den Nullstellen zur Anzahl der Primzahlen?
Riemanns Vermutung liegt darin, dass alle nicht-trivialen Nullstellen
auf der Gerade liegt, die parallel zur Z-Achse liegt und die X-Achse
bei 1/2 schneidet. Was wàre, wenn die Vermutung falsch ist?

Sorry für die vielen Fragen, sollte ich irgendwas seltsam und
missverstàndlich formuliert haben, versuche ich gern die Frage nochmal
neu zu formulieren. Oftmals besteht das Problem das, wenn man keine
Ahnung hat, noch nicht mal die Fragen korrekt formulieren kann. Das
oben angesprochene Buch enthàlt nicht einen formalen Beweis und
spricht immer von der "Landschaft", welche die Riemansche Zeta-
Funktion erzeugt. Aufgrund der Graphen aus dem angegeben Link kann ich
mir das zwar einigermaßen vorstellen, aber ich verstehe ich
Folgerungen daraus nicht. Außerdem wird auf der von mir verlinkten
Seite die Riemannsche Zeta-Funktion niedergeschrieben, aber auch das
ist mir schleierhaft.

danke Rijn
 

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#1 Jutta Gut
15/10/2007 - 19:12 | Warnen spam
"Rijndael" schrieb

Riemann hat in die Zeta-Funktion zeta(n) = (1/1)^n + (1/2)^n + .. + (1/
n)^n komplexe Zahlen eingesetzt. Weil nicht an jeder Stelle
"vernünftige" Werte geliefert wurde, hat er diese Funktion zur Riemann-
Zeta Funktion erweitert.
Mein erstes Problem liegt im Ausrechnen dieser Funktion. Wie kann ich
z.B. die 2 zur Potenz 0.5+3i erheben? Davon habe ich (leider) keinen
Schimmer, habe dazu aber auch nichts in Büchern gefunden?



In welchem Fach schreibst du denn Diplomarbeit? In einem Mathematikstudium
müsstest du das gelernt haben: 2^(0,5+3i) = e^(ln(2)*(0,5+3i).

Die Grundlage ist die Eulersche Formel e^(i*y) = cos(y) + i*sin(y), mit der
man die Exponentialfunktion auf die komplexen Zahlen erweitern kann. Dann
ist weiter
e^(x+i*y) = e^x*(cos(y) + i*sin(y)).


Die Funktion Zeichnerisch als Graph darzustellen funktioniert nicht,
man kann bestenfalls Real- und Imaginàrteil getrennt in einem 3D-
Koordinatensystem darstellen. Das geschieht z.B. hier
http://mathworld.wolfram.com/Rieman...tion.html.
Ich stelle mir das so vor, dass z.B. zeta(0.5+3i) ein Ergebnis aus den
komplexen Zahlen liefert sagen wir (r+ai). Meine Frage ist: Wird in
dem Realanteil-Graphen aus
http://mathworld.wolfram.com/Rieman...ction.html
auch tatsàchlich nur "r" abgetragen in Richtung der Y-Achse abgetragen
und im Imaginàr-Graphen nur "ai" bzw. "a".



Ja. Du meinst warhscheinlich die senkrechte Achse, denn die x- und y-Achse
stellen ja Real- und Imaginàrteil in der (waagrecht gezeichneten) komplexen
Ebene dar.

Ich verstehe ich die Erweiterung Riemanns der Zeta Funktion nicht. Die
ürsprungliche Zeta-Funktion zeta(n) = (1/1)^n + (1/2)^n + .. + (1/n)^n
"erzeugt" für alle Zahlen <=1 unendlich große Werte, dass aber doch
nur an der Stelle an der i=0 ist, also a+0i für a <=1. Warum wurde
diese Funktion erweitert, was hat Riemann genau
erweitert. Hàtte Riemann die Vermutung ohne die Erweiterung überhaupt
so àußern können? Denn die von ihm vermutete kritische Gerade liegt
bei 1/2 + ai für alle a aus den reellen Zahlen (ich hoffe das ist
korrekt).



Stichwort: analytische Erweiterung. Man kann die Definition der Zetafunktion
umformen zu einer àquivalenten Definition, die aber für alle komplexen
Zahlen außer 1 definiert ist. Leider bin ich da auch nicht mehr sehr
sattelfest. Auch bei deine anderen Fragen kann ich dir nicht weiterhelfen,
das ist schon sehr schwierige Mathematik.

Das
oben angesprochene Buch enthàlt nicht einen formalen Beweis und
spricht immer von der "Landschaft", welche die Riemansche Zeta-
Funktion erzeugt. Aufgrund der Graphen aus dem angegeben Link kann ich
mir das zwar einigermaßen vorstellen, aber ich verstehe ich
Folgerungen daraus nicht. Außerdem wird auf der von mir verlinkten
Seite die Riemannsche Zeta-Funktion niedergeschrieben, aber auch das
ist mir schleierhaft.



Ich verstehe die Probleme, die du mit dem Buch hast - ich lese es auch
gerade. Der Autor verwendet sehr blumige Vergleiche: "Landschaft",
"Musik"... Ich muss mir das erst mühsam in die mathematische Ausdrucksweise
zurückübersetzen.

Grüße
Jutta

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