Die Riemannsche Vermutung

15/10/2007 - 18:11 von Rijndael | Report spam
Hallo zusammen,
ich beginne gerade mit der Bearbeitung meiner Diplomarbeit. Mein Thema
handelt von den Eigenschaften von Primzahlen und deren visuellen
Darstellung in einem Programm. Zur Einstimmung aufs Thema lese ich
"Die Musik der Primzahlen", dass in nicht mathematisch formaler Weise
von der Geschichte der Primzahlen und vor allem der Riemannschen
Vermutung "erzàhlt". Zur Riemannschen Vermutung habe ich mehrere
Fragen, weil ich einige Dinge nicht verstehe oder mir nicht vorstellen
kann.

Zu dem was ich meine verstanden zu haben:
Riemann hat in die Zeta-Funktion zeta(n) = (1/1)^n + (1/2)^n + .. +
(1/
n)^n komplexe Zahlen eingesetzt. Weil nicht an jeder Stelle
"vernünftige" Werte geliefert wurden, hat er diese Funktion zur
Riemann-
Zeta Funktion erweitert.
Mein erstes Problem liegt im Ausrechnen dieser Funktion. Wie kann ich
z.B. die 2 zur Potenz 0.5+3i erheben, also 2^(0.5+3i)? Davon habe ich
(leider) keinen
Schimmer, habe dazu aber auch nichts in Büchern gefunden?

Die Funktion Zeichnerisch als Graph darzustellen funktioniert nicht,
man kann bestenfalls Real- und Imaginàrteil getrennt in einem 3D-
Koordinatensystem darstellen. Das geschieht z.B. hier
http://mathworld.wolfram.com/Rieman...tion.html.
Ich stelle mir das so vor, dass z.B. zeta(0.5+3i) ein Ergebnis aus den
komplexen Zahlen liefert sagen wir (r+ai). Meine Frage ist: Wird in
dem Realanteil-Graphen aus http://mathworld.wolfram.com/Rieman...ction.html
auch tatsàchlich nur "r" in Richtung der Y-Achse abgetragen
und im Imaginàr-Graphen nur "ai" bzw. "a".

Ich verstehe ich die Erweiterung Riemanns der Zeta Funktion nicht. Die
ürsprungliche Zeta-Funktion zeta(n) = (1/1)^n + (1/2)^n + .. + (1/n)^n
"erzeugt" für alle Zahlen <=1 unendlich große Werte, dass aber doch
nur an der Stelle an der i=0 ist, also a+0i für a <=1. Warum wurde
diese Funktion erweitert, was hat Riemann genau
erweitert. Hàtte Riemann die Vermutung ohne die Erweiterung überhaupt
so àußern können? Denn die von ihm vermutete kritische Gerade liegt
bei 1/2 + ai für alle a aus den reellen Zahlen (ich hoffe das ist
korrekt).

Die grundlegende Frage die ich mir stelle ist: Wie kann man mithilfe
der Vermutung die Anzahl der Primzahlen bis zu einer natürlichen Zahl
N abschàtzen? Die Funktion erwartet doch eine komplexe Zahl als
Eingabe und eben keine natürliche. Das Ergebnis muss auch eine
komplexe Zahl sein, aber wie komme ich damit zur Abschàtzung und vor
allem: Was hat das mit den Nullstellen der Funktion zu tun? Wie komme
ich von den Nullstellen zur Anzahl der Primzahlen?
Riemanns Vermutung liegt darin, dass alle nicht-trivialen Nullstellen
auf der Gerade liegt, die parallel zur Z-Achse liegt und die X-Achse
bei 1/2 schneidet. Was wàre, wenn die Vermutung falsch ist?

Sorry für die vielen Fragen, sollte ich irgendwas seltsam und
missverstàndlich formuliert haben, versuche ich gern die Frage nochmal
neu zu formulieren. Oftmals besteht das Problem das, wenn man keine
Ahnung hat, noch nicht mal die Fragen korrekt formulieren kann. Das
oben angesprochene Buch enthàlt nicht einen formalen Beweis und
spricht immer von der "Landschaft", welche die Riemansche Zeta-
Funktion erzeugt. Aufgrund der Graphen aus dem angegeben Link kann ich
mir das zwar einigermaßen vorstellen, aber ich verstehe ich
Folgerungen daraus nicht. Außerdem wird auf der von mir verlinkten
Seite die Riemannsche Zeta-Funktion niedergeschrieben, aber auch das
ist mir schleierhaft.

danke Rijn
 

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#1 Hero
16/10/2007 - 23:36 | Warnen spam
Rijndael schrieb:

Die Funktion Zeichnerisch als Graph darzustellen funktioniert nicht,
man kann bestenfalls Real- und Imaginàrteil getrennt in einem 3D-
Koordinatensystem darstellen.



Man sieht tàglich im Wetterbericht Wind und Sturm durch Pfeilvektoren
dargestellt. Ein Vektorfeld ist eine diskrete Visualisierung einer
Funktion 2D>2D, jedem Ort ist ein Pfeil mit Lànge ( Dicke, Anzahl
der Federn am Ende) und Richtung zugeordnet. Für Strömungen mit
Rotation kann man zusàtzlich das Feld zeitlich verànderlich
darstellen.

Martin Lapidus kann Dir hier vielleicht helfen, die Demoversion von
f(z) ist sicher gut dafür:
http://www.lascauxsoftware.com/

Mit freundlichen Grüssen
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