Die sogenannte Lorentz-Invarianz

04/05/2010 - 19:32 von Philo | Report spam
Dieser Beitrag ist eine Erlàuterung zu der entsprechenden Diskussion
zwischen mir und anderen im Strang "Impuls in der SRT".

Ausgangspunkt war die von Prof. Dragon in seinen FAQ-Seiten
aufgestellte, grob fehlerhafte Behauptung, die Maxwell-Gleichungen sei
invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen, speziell unter
Galilei-Transformationen. Er spricht dort hauptsàchlich von den
Gleichungen mit Ladungen und Strömen. Das ist aber unwesentlich, denn
was ich hier beschreibe, betrifft beide Typen von Maxwell-
Gleichungen.

Ich hatte nebenbei erwàhnt, dass die Maxwell-Gleichungen auch nicht
gegenüber der Lorentz-Gruppe invariant sind. Die sogenannte "Lorentz-
Invarianz" ist eine historisch bedingte Redewendung. Sie bezieht sich
mathematisch auf eine Gruppe, die weder die Lorentz-Gruppe ist noch
sie als Untergruppe enthàlt. Das wird jedoch in der mathematischen
Spezialliteratur nur ganz verschlüsselt dargestellt, ein àußerst
kritikwürdiges Verfahren.


Was bedeutet "Symmetrie eines Differenzialgleichungs-System"?

Ein DGL-System kann man abstrakt in der Form

(1) D(x, u, u' ) = 0

schreiben. Hier vertritt x alle unabhàngigen Variablen, u alle
abhàngigen Variablen (Funktionen von x) und u' alle ihre Ableitungen
bis zur Ordnung des jeweiligen Systems. Ignoriert man für den Moment,
dass u und u‘ Funktionen von x sind, dann làsst sich D als eine
gewöhnliche Funktion aller auftretenden Variablen auffassen. Lösungen
von D = 0 sind Funktionentupel u, die die Gleichung identisch
erfüllen, zumindest in einem gewissen Bereich der Variablen x. In
einer geometrischen Auffassung sind die Lösungen Zahlentupel (x, u(x),
u‘(x)), die die gewöhnliche Gleichung D(x, u(x), u‘(x)) = 0 erfüllen.

Wie bei jeder Funktion lassen sich Variablenwechsel (Transformationen)
durchführen, sagen wir auf die neuen Variablen y, w, w'. Eine
Transformation T heißt Symmetrietransformation von D, wenn wieder gilt

(2) D(y, w, w') = D(T(x, u, u') = 0 für alle Lösungen u von (1)

Kurz: T bildet Lösungen auf Lösungen ab. Oder auch: D ist
forminvariant unter T.

Mehrere Dinge sind zum Verstàndnis wichtig:
1. T(x, u, u') muss nur für Lösungen u die Gleichung D = 0 erfüllen.
2. Man beachte, dass (2) denselben Funktionsausdruck D enthàlt. Die
Redewendung "Lösungen werden zu Lösungen" ist NICHT so zu verstehen,
dass (1) in ein anderes, ggfs. zu D àquivalentes DGL-System E
umgeformt wird.
3. T kann Funktion sowohl der unabhàngigen Variablen x wie auch der
abhàngigen Variablen u sein (die Transformationen der Ableitungen u'
werden darüber festgelegt). Im allgemeinen ist also T von folgendem
Typ
y = T1(x, u)
(3) w = T2(x, u)

Sowohl die Transformationen der Galilei- als auch der Lorentz-Gruppe
enthalten ausschließlich Transformationen der unabhàngigen Variablen
x, also y = T1(x) und T2 ist die Identitàt. Auch dadurch werden
natürlich die Funktionen u(x) in neue Funktionen u(T3(y)) =: w(y)
geàndert (T3 invers zu T1).

Besonders wichtig sind diesem Zusammenhang (endlichdimensionale) Lie-
Gruppen, zu denen auch die Galilei- und die Lorentz-Gruppe gehören.
Ist jede Transformation einer Gruppe Symmetrietransformation von D, so
nennt man die Gruppe Symmetriegruppe von D. Die Besonderheiten der
sogenannten lokalen Transformations-Gruppe kann ich hier ignorieren.
Der Sinn der Definition (2) liegt dann darin, dass auf diese Weise
sehr allgemeine Lösungsfunktionen konstruiert werden können. In der
geometrischen (Punkt-)Interpretation: Es wird eine
Lösungsmannigfaltigkeit des DGL-Systems konstruiert analog zu
gewöhnlichen Gleichungssystemen. Der Begriff „Forminvarianz“ ist
nichtssagend und missverstàndlich, wie spàter noch gezeigt wird.

Lie-Gruppen L haben die besondere Eigenschaft, dass ihnen eine Lie-
Algebra A zugeordnet werden kann. Zwischen den Untergruppen von L und
den Unteralgebren von A gibt es eine umkehrbar eindeutige Beziehung.
Insbesondere lassen sich die eindimensionalen Lie-Untergruppen von L
vom Basisvektor eines eindimensionalen Unterraums von A in bestimmter
Weise "erzeugen". Diese Vektoren heißen daher auch Generatoren oder
Erzeugende.

Schon aus der Bedingung (2) làsst sich erahnen, dass es eine ziemlich
abwegige Idee ist, beliebige Transformationen der Variablen könnten
Symmetrietransformationen der Maxwell-Gleichungen sein. Das Gegenteil
ist richtig. Allein schon die Berechnung der Lie-Symmetrie-Gruppen
eines DGL-Systems ist im allgemeinen eine aufwàndige Angelegenheit. Es
kann aber auch andere Symmetrien geben.

Möchte man prüfen, ob eine bestimmte Gruppe Symmetriegruppe eines
Systems D ist, so kann man kurzerhand ihre Transformationen in D
„einsetzen“ und das Ergebnis nachprüfen. Jede einzelne Gleichung eines
DGL-Systems muss das angegebene Kriterium erfüllen. Versagt es bei
einer einzigen Gleichung, so liegt keine Symmetriegruppe vor. Da die
Rechnungen oft nicht ganz einfach sind, gibt es ein handlicheres
hinreichendes Kriterium, das für analytische Systeme auch notwendig
ist. Wer sich dafür interessiert, muss die einschlàgige
Spezialliteratur konsultieren. Beide Varianten zeigen übereinstimmend:
1. Die Galilei-Gruppe ist weder Symmetriegruppe der Wellen- noch der
Maxwell-Gleichungen
2. Die Lorentz-Gruppe ist Symmetriegruppe der Wellen- aber nicht der
Maxwell-Gleichungen.

Die Einsetz-Methode kann jeder bei entsprechenden Kenntnissen selbst
durchführen. Gerade bei der Kombination Lorentztranformation/
Wellengleichung verschafft einem das eine geradezu sinnliche
Vorstellung von dem, was Invarianz bedeutet, insbesondere dann, wenn
man es mit dem Ergebnis bei den Maxwell-Gleichungen vergleicht (siehe
die zweite Gleichung in § 6 in Einsteins Arbeit von 1905). Der
Kontrast zwischen beiden Fàllen ist eklatant.

Einstein führt dann zusàtzlich über sein Allzweckargument
„Relativitàtsprinzip fordert es“ eine weitere Transformation der
abhàngigen Variablen durch. T2 in (3) ist von der Form w = T2(u) und
nicht mehr die Identitàt. Man könnte dies auf den ersten Blick für
eine Erweiterung der Lorentz-Gruppe halten. Damit liegt man aber
falsch. Die Lorentz-Gruppe ist keine Untergruppe dieser neuen Gruppe.
Denn es ist aufgrund der Definition klar, dass jede Lie-Untergruppe
einer Symmetriegruppe von D selbst Symmetriegruppe von D ist und das
ist die Lorentz-Gruppe eben nicht.

Diese Beschreibung versteht man oder eben nicht. Man muss sie nicht
verstehen. Prozentrechnung versteht ja auch nicht jeder.


- sehr kurze Historie -
Die Begriffe Lie-Gruppe und Lie-Algebra entstanden aus Arbeiten des
Mathematikers Sophus Lie in den letzten Jahrzehnten des 19.
Jahrhunderts. Lie schuf eine systematische Lösungstheorie für DGL-
Systeme. Kurioserweise geriet der eigentliche Ursprung der Lie-
Gruppen, die Anwendung auf DGL-Systeme, schnell in Vergessenheit und
wurde erst Mitte des 20. Jahrhunderts von G. Birkhoff und insbesondere
von einer Gruppe sowjetischer Mathematiker um Ovsiannikov wiederbelebt
und weiterentwickelt. Bei Physikern sind Lies Lösungsmethoden noch
heute weitgehend unbekannt, wie Stephani im Vorwort seines
entsprechenden Lehrbuchs schreibt.

Weder Lorentz noch Einstein kannten Lies Theorie und Einstein ging es
als Physiker logischerweise nicht um mathematische Entdeckungen. Seine
Arbeit von 1905 behandelt eine bestimmte Symmetrie der Maxwell-
Gleichungen, die spàter als "Lorentz-Invarianz" bekannt wurde. 1909/10
deckten Bateman und Cunningham eine noch umfangreichere Symmetrie auf,
bekannt als "konforme Invarianz". Beide ebenfalls ohne Kenntnis von
Lies Arbeiten. Daher fehlte den Beteiligten die richtige Brille, um
ihre Ergebnisse angemessen einzuschàtzen und in einen größeren
Zusammenhang zu stellen. Da diese Arbeiten aus Anlass der SRT
entstanden, wurden die entdeckten Symmetrien mit dem nebulösen
„Relativitàtsprinzip“ in Verbindung gebracht und erhielten eine
ideologisch gefàrbte Bedeutung. Insbesondere wurde verbreitet, die
Maxwell-Gleichungen seien immanenter Bestandteil der SRT. Ganz falsch.
Denn die SRT besteht aus nichts anderem als den tatsàchlichen oder
eingebildeten Konsequenzen der Lorentz-Transformationen. Die Maxwell-
Gleichungen sind weder tatsàchliche Konsequenz der Lorentz-
Transformationen noch sind sie mit ihnen ohne weiteres kompatibel wie
man sieht. Es gehört eine ordentliche Portion Ideologie dazu, die
Elektrodynamik als Teil der SRT zu sehen. Man muss übrigens mal darauf
achten, was das Relativitàtsprinzip fordert und nicht fordert. Es
fordert die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit, aber zum Beispiel
nicht die Invarianz der Frequenz oder Wellenlànge. Es fordert die
Invarianz der Maxwellgleichungen, aber nicht die Invarianz von
elektrischem oder magnetischem Feld. Was das RP fordert und nicht
fordert wurde Einstein wohl von Gott persönlich mitgeteilt wie Moses
die 10 Gebote.

Weitere Verwirrung entsteht bis heute dadurch, weil diese Symmetrien
oft mit einem ganz anderen Sachverhalt in einen Topf geworfen werden,
und zwar mit den Ergebnissen des Differenzialformenkalküls. Zitat aus
dem Internet-Skript eines Professors: „Die Maxwell-Gleichungen dF = 0
und dG = J haben in allen Koordinatensystemen dieselbe Form“. Das
làuft unter dem pompösen Titel „kovariante Darstellung“. Auch van Hees
propagiert fleißig das kovariante Schreiben und Rechnen. Bis heute
habe ich keine vernünftige Erklàrung dazu gelesen, was das wohl sein
könnte. Die Gleichungssysteme werden hier einfach nur als Abbildung
(Differenzialform) gedeutet und mit einem abstrakten Symbol
bezeichnet. Abbildungen sind naturgemàß koordinatenfrei. Was soll aus
solchen fundamentalen Entdeckungen für das Symmetrieproblem folgen?
Aber hier liegt die Quelle schwerer Missverstàndnisse. Diese
„Formgleichheit“ darf nicht verwechselt werden mit der obigen
Formgleichheit. Am besten ist es, auf diese Vokabel überhaupt zu
verzichten, genau wie auf das kovariante Schreiben und Rechnen. Das
klingt für Laien alles grundgelehrt, ist aber nur hohles Getratsche.


Mathematiker als Politiker -

Als Lies fundamentale Arbeiten vor 50 bis 60 Jahren wieder aus der
Versenkung auftauchten, standen die Mathematiker bei den Maxwell-
Gleichungen natürlich vor einem kleinen Problem. Auf der einen Seite
gab es die relativistische Ideologie und den eingebürgerten
Sprachgebrauch der Lorentz-Invarianz. Auf der anderen Seite konnte man
schlecht die Augen davor verschließen, dass dieser Sprachgebrauch zum
wirklichen Sachverhalt nicht passt. Also wurden aus Mathematikern
Politiker. Sie wàhlen ihre Ausdrucksweise so, dass sich niemand vor
den Kopf gestoßen fühlt. Mit Lorentz-Gruppe ist nicht mehr die
wirkliche Lorentz-Gruppe L gemeint sondern die tatsàchliche
Symmetriegruppe S, so wie von Einstein beschrieben. Diese
Doppeldeutigkeit ist für Politiker leicht zu begründen. Die
Generatoren von S bestehen aus Basen eindimensionaler Vektorràume, in
denen die Generatoren von L als Teilterme auftauchen. Nun ist klar,
dass man beim Basisvektor eines 1-dimensionalen Raums nicht einzelne
Teilterme für sich betrachten kann. Das ist mathematisch ganz ohne
Sinn, politisch dagegen von Vorteil.

Beispiel 1:
Ovsiannikov führt im Anhang seines Buches "Group Analysis of
Differential Equations", 1982 die 17 Basisvektoren der Lie-Algebra der
Vakuum-Gleichungen an, listet aber die Generatoren der konformen
Gruppe in einer separaten Tabelle auf und ergànzt sie in einer zweiten
Tabelle, die nun die wirkliche Symmetrie-Algebra enthàlt, um die
fehlenden Terme. Zu diesem Verfahren schreibt er listig: "Es ist
bequem sie mittels der konformen Gruppe darzustellen." Man beachte die
Wortwahl: Er sagt weder, die konforme Gruppe sei Symmetriegruppe (das
wàre falsch), noch sagt er das Gegenteil (das wàre ungeschickt). Das
Verstàndnis bleibt dem Leser überlassen.

Beispiel 2:
Die Monografie von Fushchich und Nikitin "Symmetries of Maxwell's
Equations“, 1987, eine Perle des Neusprech. Auf Seite 3 lesen wir
bezüglich der konformen Gruppe: "Diese Gruppe ist die maximale
Symmetriegruppe der Maxwell-Gleichungen mit Strömen und Ladungen (wenn
man die Aufmerksamkeit auf die lokalen (Punkt-)Transformationen der
Koordinaten und der Zeit beschrànkt)." Die Klammerbemerkung ist
wichtig. Man muss entscheidende Informationen aus dem Blickfeld
einfach streichen. Mathematisch sinnlos. Als ob im Reiseprospekt
steht: Ruhig gelegen (wenn man seine Aufmerksamkeit auf die Zeit von 2
Uhr bis 3 Uhr nachts beschrànkt). Wer das übersieht oder nicht
versteht und im Haupttext des auf sehr abstraktem Niveau geschriebenen
Buches nur ein wenig herumblàttert, der hat Pech gehabt. Prof.
Schottenloher beweist daher in seinem bekannten Buch, dass die
Poincaré-Gruppe eine Symmetrie-Gruppe ist. Er gibt sogar zwei Beweise.
Der erste ist so einfach, dass der Autor scheinbar selbst Zweifel hat.
Der zweite benutzt einen Weg, den bereits Max von Laue 1911 als
Holzweg erkannte. Fushchich und Nikitin sind für solche
Missverstàndnisse natürlich nicht verantwortlich, haben sie doch
eingangs deutlich und unübersehbar auf die Beschrànktheit hingewiesen.
Soll man als Autor etwa im ganzen Buch immer neu darauf hinweisen? Na
also.
 

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#1 Roland Franzius
04/05/2010 - 21:06 | Warnen spam
Philo schrieb:

Sowohl die Transformationen der Galilei- als auch der Lorentz-Gruppe
enthalten ausschließlich Transformationen der unabhàngigen Variablen
x, also y = T1(x) und T2 ist die Identitàt. Auch dadurch werden
natürlich die Funktionen u(x) in neue Funktionen u(T3(y)) =: w(y)
geàndert (T3 invers zu T1).




Offenbar versteht er den Unterschied zwischen Variablen in den
Funktionen, den Ortsvektoren und den Felsvektoren nicht.

Demnach ist ihrer Meinung nach das Coulombefeld nicht drehinvariant.

Die Kraft einer Punktladung im Urspung

K =q x e_x + y e_y + ze_z )/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) = x/|x|^3

ist eine Lösung der Vakuum-Maxwellgleichung außerhalb des singulàren
Urspungs:

div K = 3/|x|^3 - 3/2 2 x.x/|x|^5 = 0 |x|>0

Diese Lösung ist kugelsymmetrisch, sagt man, und meint damit invariant
unter der Vektordarstellung der Drehgruppe im euklidischen R^3, das ist
die definierenden Darstellung der speziellen orthogonalen Gruppe SO(3)

x = (cos a x' - sin a y')
y = (cos a y' + sin a x')
z = z'

Machen wir gemàß Vorschlag Philo nur die Transformation der Koordinaten

x ex + y e_y + z e_z (cos a x' - sin a y')e_x + (cos a y' + sin a x')e_y + z' e_z

K = (cos a x' - sin a y')e_x + (cos a y' + sin a x') e_y + z'
e_z)/|x'^2+y'^2+z'^2|^3

Das ist das Feld K hingeschrieben als Vektor im Bezugssystem der alten
Basisvektoren e_x,e_y,e_z.

Gemàß Philos Sophie ist also das Coulombfeld nicht invariant unter
Drehungen.

Wird es aber sofort, wenn man gemàß Symmetriebegriff der Physik und
Mathematik transformiert, denn wie im richtigen Leben benutzt der
Physiker nicht nur die gedrehten Koordinaten der Argumente, sondern auch
die ihnen zugeordnete gedrehte Basis

e_x'= (cos a e_x + sin a e_y)
e_y'= (cos a e_y - sin a e_x)
e_z'= e_z

(beachte die scheinbar entgegengesetzte Drehrichtung im Vergleich zu den
Koordinaten, es kommt hier auf Genauigkeit an)

so ist alles wieder gut

K' = x' e_x' + y' e_y' + z' e_z')/|x'^2+y'^2+z'^2|^3


und dieses Feld ist auch wieder Lösung des rotationsinvarianten
Operators div' K' = 0.

Sie haben also möglicherweise simpel irgenwann nicht mitbekommen, wie
man Tensoren und Tensorgleichungen in der Differentialgeometrie mit
Basiswechsel umzurechnen hat.

Ihre Argumentation ist folglich von der Art Don Quichottes Kampf gegen
die Windmühlen, der kam auch schon mit der zweidimensionalen Drehgruppe
und einem rotierenden Basiskreuz nicht zurecht.

Kein Wunder, dass es dann mit dem Wechsel der Gleichzeitigkeitsbasis für
das Maxwellfeld auch nicht klappt.


Allgemein gilt für eine Darstellung einer Liegruppe mit
Koordinatendarstellung x = S x' in einer Vektordarstellung für

ein sklares Feld

f(x) ->S-> f(S x')

ein Vektorfeld V

V(x) ->S-> Lamda(S) . V(S x')

für Operatoren A in einem Hilbertraum zB

A(x) ->S-> Lambda(S)^+ . V (S x') . Lambda (S)

und für Tensoren n-ter Stufe

T^(n)(x) ->S-> Lambda(S)^n T^(n)(S x)

wobei die Lambdas die Darstellung der Gruppe im fixen Vektorraum der
Feldkomponenten (zB für den invarianten Punkt x=0) ist.


Roland Franzius

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