Die Struktur ganzzahliger Potenzen in einer erweiterten Binärdarstellung und Anwendung auf die Fermatsche Vermutung

16/10/2011 - 14:52 von Peter | Report spam
5^2 in binàrer Darstellung ist so berechenbar:

101 * 101 101
+10100

Wenn wir nun in der Darstellung von Binàrzahlen Ziffern erlauben, die
grösser sind, als Eins, dann ist die Zahldarstellung zwar nicht mehr
eindeutig, aber wir können die Zahl so schreiben:

101 * 101 10201

Wir stellen uns nun vor, wir hàtten eine Zahl, die so gross ist, dass
wir von der Mantisse nur den "Schwanz" berechen können:
Der "Schwanz" des Quadrates sieht dann -in dieser erweiterten
Binàrdarstellung- so aus:

...1001100010011 ^2 ...6005400030021

Quadrieren wird also trivial einfach, man muss nur die Einsen in der
Mantisse rückwàrts aufaddieren und an jeder Einsposition die Summe
hinschreiben!
Eine Zahl zum Kubus zu erheben, geht genauso einfach, man addiert die
Stellen von rückwàrts rekursiv auf und schreibt die Summen hin:


...1001100010011 ^3 ...(1+2+3+4+5+6))00(1+2+3+4+5)(1+2+3+4)000(1+2+3)00(1+2)1

In dieser speziellen Darstellung besteht also der "Schwanz" eines
beliebigen Kubus immer aus denselben Ziffern und ein Unterschied besteht
nur in der Verteilung der Ziffern.

Entsprechendes gilt auch für höhere Potenzen.

Ich überlege mir nun, ob man auf diese Weise vielleicht allgemein zeigen
kann, dass die Fermatsche Vermutung,
c^n <> a^n + b^n, n >2
für sehr grosse Zahlen immer richtig sein muss.

Wenn sie aber für sehr grosse Zahlen immer richtig ist, dann muss sie
auch für beliebige kleinere Zahlen immer richtig sein.

;-)

Grüsse,

Peter
 

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#1 Jan Fricke
16/10/2011 - 22:19 | Warnen spam
On 10/16/2011 02:52 PM, Peter wrote:
5^2 in binàrer Darstellung ist so berechenbar:

101 * 101> 101
+10100

Wenn wir nun in der Darstellung von Binàrzahlen Ziffern erlauben, die
grösser sind, als Eins, dann ist die Zahldarstellung zwar nicht mehr
eindeutig, aber wir können die Zahl so schreiben:

101 * 101 > 10201

Wir stellen uns nun vor, wir hàtten eine Zahl, die so gross ist, dass
wir von der Mantisse nur den "Schwanz" berechen können:
Der "Schwanz" des Quadrates sieht dann -in dieser erweiterten
Binàrdarstellung- so aus:

1001100010011 ^2 > 6005400030021

Quadrieren wird also trivial einfach, man muss nur die Einsen in der
Mantisse rückwàrts aufaddieren und an jeder Einsposition die Summe
hinschreiben!
Eine Zahl zum Kubus zu erheben, geht genauso einfach, man addiert die
Stellen von rückwàrts rekursiv auf und schreibt die Summen hin:


1001100010011 ^3 > (1+2+3+4+5+6))00(1+2+3+4+5)(1+2+3+4)000(1+2+3)00(1+2)1

In dieser speziellen Darstellung besteht also der "Schwanz" eines
beliebigen Kubus immer aus denselben Ziffern und ein Unterschied besteht
nur in der Verteilung der Ziffern.


Solche Zahlen nennt man m-adische Zahlen (m ist die Basis des
Stellensystems), ist m sogar eine Primzahl, dann p-adische Zahlen.


Entsprechendes gilt auch für höhere Potenzen.

Ich überlege mir nun, ob man auf diese Weise vielleicht allgemein zeigen
kann, dass die Fermatsche Vermutung,
c^n <> a^n + b^n, n >2
für sehr grosse Zahlen immer richtig sein muss.

Wenn sie aber für sehr grosse Zahlen immer richtig ist, dann muss sie
auch für beliebige kleinere Zahlen immer richtig sein.


Die Fermatsche Vermutung ist für p-adische Zahlen falsch (und damit [wie
man leicht zeigen kann] auch für alle m-adischen Zahlen).

Das làsst sich sogar ziemlich leicht mit dem Hensel-Lemma zeigen. Dafür
muss man nur eine nicht-triviale Lösung von a^n+b^n=c^n modulo p finden
(das geht ganz einfach, falls n kein Teiler von p-1 ist; über die
anderen Fàlle habe ich jetzt nicht nachgedacht), und das Hensel-Lemma
sichert dann die Existenz einer p-adischen Lösung.


Viele Grüße Jan

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