Differentialformenkalkül

13/01/2009 - 14:17 von Uli Kolberg | Report spam
Hallo zusammen,

nachdem ich die Elektrodynamik bisher nur in der Formulierung der
klassischen Vektoranalysis gehört habe, sehe ich sie mir gerade anhand
von [1] im Differentialformenkalkül an. Letzteren habe ich zwar bereits
in der Mathematik-Vorlesung kennengelernt, aber beim ersten Anlauf habe
ich die Vorteile dieses Kalküls wohl doch noch nicht ganz durchschaut.
Meine Frage ist, was die (überall behaupteten) Vorzüge des
Differentialformenkalküls gegenüber der klassischen Vektoranalysis sind.
Was mir dazu bisher einfàllt ist:

- Er stellt eine Verallgemeinerung dar, indem die
Differentialoperationen Gradient, Divergenz und Rotation als Sonderfàlle
nur einer Operation, nàmlich der àußeren Ableitung, vorkommen.
- Er stellt eine Verallgemeinerung hinsichtlich der zugrunde liegenden
Mengen dar: Statt Vektorràumen kann man jetzt allgemein
Mannigfaltigkeiten zulassen, was insbesondere auch eine
Verallgemeinerung hinsichtlich der Dimension (statt 3 jetzt allgemein:
n) impliziert.
- Er stellt eine Verallgemeinerung hinsichtlich der Integralsàtze dar:
Die klassischen Integralsàtze von Gauß und Stokes sowie der Hauptsatz
der Differential- und Integralrechnung gewöhnlicher Funktionen sind
allesamt im allgemeineren Satz von Stokes enthalten.

(Soweit richtig, oder?) Bei folgenden Punkten, über die ich gelesen
habe, herrscht noch Unklarheit:

- Koordinatenunabhàngigkeit: Die Definitionen und Sàtze sind unabhàngig
von den verwendeten Koordinaten, obgleich man auch in Koordinaten
rechnen kann. Ist das in der klassischen Vektoranalysis nicht auch so?
- Metrikfreiheit: Ist mir noch nicht klar. Ich sehe zwar, dass in
klassichen Ausdrücken wie <F,dA> und <F,dr> (Skalarprodukt von
Vektorfeld und Flàchen- bzw. Wegelement) ein Skalarprodukt und damit
auch eine Metrik vorkommt, aber mehr verstehe ich noch nicht.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Willkommen sind auch Hinweise auf
Skripten oder Bücher, in denen solche Fragen behandelt werden.

Gruß

[1] www.thp.uni-koeln.de/thphysik/Eddy.ps.gz
 

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#1 Norbert Dragon
13/01/2009 - 16:07 | Warnen spam
* Uli Kolberg schreibt:

nachdem ich die Elektrodynamik bisher nur in der Formulierung der
klassischen Vektoranalysis gehört habe, sehe ich sie mir gerade anhand
von [1] im Differentialformenkalkül an.


Bei folgenden Punkten, über die ich gelesen habe, herrscht noch
Unklarheit:

- Koordinatenunabhàngigkeit:



Jedes Gleichungssystem, das aus einem Wirkungsprinzip stammt, ist in
dem Sinne koordinatenunabhàngig, daß die Euler-Lagrangegleichungen
genau dann in einem Koordinatensystem gelten, wenn sie einem anderen
gelten.

- Metrikfreiheit: Ist mir noch nicht klar.



Die Maxwell-Gleichungen

div B = 0 und rot E + d_t B = 0

haben nichts mit einer Metrik zu tun und besagen nur, daß die
sechs Feldstàrken E und B die antisymmetrisierten Ableitungen
von vier Potentialfunktionen sind.

Unstrittig faßt die Formenschreibweise mit

d F = 0

diese Gleichungen elegant zusammen. Zudem gibt das Poincaré-Lemma
in sternförmigen Gebieten die allgemeine Lösung, F = d A .

Aber die inhomogenen Gleichungen

div E = rho und rot B - d_t E = j

machen von der Metrik Gebrauch. Sie lassen sich zwar als


d (* F) = * j

schreiben, aber in der Definition von * wird die Metrik verwendet.

Ich sehe zwar, dass in
klassischen Ausdrücken wie <F,dA> und <F,dr> (Skalarprodukt von
Vektorfeld und Flàchen- bzw. Wegelement) ein Skalarprodukt und damit
auch eine Metrik vorkommt, aber mehr verstehe ich noch nicht.



Nein.

Nicht jede Linearkombination ist ein Skalarprodukt. Ein Skalarprodukt
ist eine Bilinearform, beide Faktoren des Produktes sind aus demselben
Vektorraum.

Bei Deinem "Skalarprodukt" handelt es sich um Differentialformen.
sie heißen weniger abschreckend Integranden oder Dichten.

Vielleicht hilft Dir

Kapitel 5 und Anhang von

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/relativ.pdf

Kapitel 22

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/rech.pdf

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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