Differentialgleichung: Beschleunigung aus Geschwindigkeit

09/07/2010 - 18:44 von Thomas | Report spam
Hallo,

Ich versuche mich gerade in partielle Differentialgleichungen der
Kinetik (Eulerscher Ansatz) einzulesen. Die Beschleunigung a eines
Massepunktes wird demnach so berechnet:

a(x,t) = dv / dt + v * grad(v)

x ... Massepunkt im 3D
t ... Zeit
v ... 3D-Geschwindigkeitsvektor von x in t
d ist das partielle Differential

Es wundert mich sehr, woher der zweite Part der Gleichung oben kommt
(v * grad(v)). Bis jetzt hàtte ich die Gleichung ohne diesen Part
geschrieben. Habt Ihr einen Hinweis für mich?

Danke & Gruss,
Thomas
 

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#1 Gregor Scholten
09/07/2010 - 20:17 | Warnen spam
On 9 Jul., 18:44, Thomas wrote:
Hallo,

Ich versuche mich gerade in partielle Differentialgleichungen der
Kinetik (Eulerscher Ansatz) einzulesen. Die Beschleunigung a eines
Massepunktes wird demnach so berechnet:

a(x,t) = dv / dt + v * grad(v)

x ... Massepunkt im 3D
t ... Zeit
v ... 3D-Geschwindigkeitsvektor von x in t
d ist das partielle Differential

Es wundert mich sehr, woher der zweite Part der Gleichung oben kommt
(v * grad(v)). Bis jetzt hàtte ich die Gleichung ohne diesen Part
geschrieben. Habt Ihr einen Hinweis für mich?



offenbar wird da so eine Art Strömungsfeld betrachtet, das als
Geschwindigkeitsfeld v(x,t) beschrieben wird. Heißt: ein mit der
Ströumg mitbewegter Massepunkt hat, wenn er sich zur Zeit t0 am Ort x0
befindet, die Geschwindigkeit v0 := v(x0,t0). Mit der Konsequenz, dass
er nicht am Ort x0 verweilt, sondern zur Zeit t0 + dt an den Ort

x0 + dx0 = x0 + v0 dt = x0 + v(x,t) dt

gewandert sein wird. An dem neuen Punkt (x0 + dx0, t0 + dt) = (dx0 +
v0 dt, t0 + dt) wird seine Geschwindigkeit i.a. auch eine andere sein,
nàmlich v(x0 + dx0, t0 + dt), er erfàhrt somit eine Beschleunigung.

Nun betrachtete den Spezialfall \partial_t v = 0 (in deiner
Schreibweise dv / dt = 0), d.h. das Geschwindigkeitsfeld ist konstant
für x = const. Dann ist das Feld immer noch vom Ort x abhàngig, d.h.
die Geschwindigkeit des Massepunktes wird sich àndern, wenn sich sein
Ort àndert. Folglich kann die Beschleunigung nicht nur durch
\partial_t v gegeben sein, sondern muss zusàtzlich noch einen Term
enthalten, der die Ortsabhàngigkeit von v(x,t) ausdrückt.

Wobei mich allerdings grad(v) ein wenig irritiert. v ist ein Vektor,
und der Gradient eines Vektors ist eine Matrix, die dadurch gebildet
wird, dass man im Kalkül der Matrizenmultiplikation den Nabla-Operator
linksstehend als Spaltenvektor und den Vektor, auf den er wirkt, als
Zeilenvektor auffasst: (grad v)_ij = nabla_i v_j. Dieses Konstrukt
wird aber - zumindest außerhalb der RT und der QM - in der Literatur
eher selten betrachtet. Meinst du nicht vielleicht eher die Divergenz
div v? Bei der wird der Nabla-Operator entsprechend der gewöhnlichen
Skalarproduktbildung zweier Vektoren auf v angewandt, was einen Skalar
ergibt: div v = sum_i nabla_i v_i.

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