Differentialgleichung

01/06/2008 - 20:19 von Matthias Springer | Report spam
Hash: SHA1


Hallo,

was ist die Lösung folgender Differentialgleichung und wie kommt man darauf?

x_punkt_punkt = d / ((x+c)²)

x_punkt_punkt ist dabei die zweite Ableitung von x; d und c sind Konstanten.

Gruß,
Matthias
 

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#1 Sebastian Starosielec
01/06/2008 - 21:23 | Warnen spam
On Sun, 01 Jun 2008 20:19:58 +0200, Matthias Springer wrote:

Hash: SHA1


Hallo,

was ist die Lösung folgender Differentialgleichung und wie kommt man
darauf?

x_punkt_punkt = d / ((x+c)²)



Ich glaube mich zuinnern, daß es eine Transformation gibt, die dir eine
àquivalente DGL erster Ordnung erzeugt, die sich vermutlich leichter
lösen làßt.

Aber bevor man sein Werkzeugkoffer aufmacht, kann man das Problem auch
durch Hingucken lösen.

Such dir mal einen einfachen Spezialfall (etwa d=1 und c=0) heraus, um
hoffentlich die grobe Struktur der Lösung zu erkennen:

z" = 1/z^2

Mit dem Ansatz z(t) = a*t^b erhàlt man
ab(b-1) t^(b-2) = t^(-2b)

Mit Koeffizientenvergleich

b-2 = -2b ergibt b=2/3
ab(b-1) = 1 ergibt a = -9/2

Der Unterschied der Hilfs-DGL zur originalen DGL ist jetzt nicht so groß.
Das c (nun für c != 0) im Nenner làßt sich durch bloße Verschiebung
kompensieren, daß d im Zàhler durch Skalierung der Variablen (Kettenregel
der Ableitung).
Es scheint also ein vielversprechender Ansatz zu sein:
x(t) = z(h*t)-c

Nachrechnen und Einsetzen der DGL von z ergibt
x"(t) = h^2 z"(h*t) = h^2 / z^2(h*t) = h^2 / (x(t) + c)^2

Und man sieht also nun h^2 = d.

Wir erhalten also zwei Lösungen
x1(t) = -9/2*sqrt(d) * t^(2/3) - c
x2(t) = +9/2*sqrt(d) * t^(2/3) - c

Eine eindeutige Lösung bekommst Du, wenn Du Randbedingungen zu erfüllen
hast.

Viele Grüße,
Sebastian

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