Diffusionsgleichung

16/07/2008 - 14:42 von Roland Damm | Report spam
Moin,

ich stehe gerade mit einem vermutlich recht einfachem Problem
aufm Schlauch:

Ein Schwamm saugt sich mit Wasser voll, ich gehe mal davon aus,
das sich das mit einfachsten Gleichungen beschreiben làsst.
Danach ist die Wasserkonzentration im Schwamm c die Lösung aus
der DGL:

d/dt c(x,t) = D d^2/dx^2 c(x,t)

(D=Diffusionskoeffizient)

Meine Randbedingungen sind, dass c(x,0)=0 ist und dass c(0,t)=1
für t>0, c(0,t)=0 für t<0 ist. An sich ganz übersichtlich. Wie
verhàlt sich nun c(x,t)?

Wiki liefert für die gleichlautende DGL für Wàrmeleitung eine
Lösung für eine sin-förmige Anregung, aber ich komme irgendwie
nicht drauf, wie/ob mir das was nutzt.

Was mich übrigens am Ende interessiert ist, wieviel Wasser der
Schwamm nach einer Zeit aufgenommen hat, also
M(t) = \int_0^\infty c(x,t) dx.
Irgendwie sind solche Rechnungen bei mir zu lange her b.z.w. ich
brauche die Mathematik nicht oft genug, also dass ich jetzt
wüsste, wie ich das ausrechnen soll.
Hinweise, Tipps? Oder einfach die Lösung:-)?

Ach ja, das mit dem Schwamm ist nur so ein Gedankenbeispiel, es
geht jetzt nicht darum, ob diese DGL das Verhalten eines realen
Schwamms gut abbildet, ich brauche einfach nur ein Modell, das
einigermaßen passt so dass ich es mit meinen Messungen
abgleichen kann. Wenn sich dieser Ansatz als unpassend
herausstellt, werde ich dass ja sehen. Das schöne bei diesem
Ansatz ist nur, dass es so wenige Unbekannte/Variablen gibt,
nàmlich nur das D.

CU Rollo
 

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#1 Norbert Dragon
16/07/2008 - 14:57 | Warnen spam
* Roland Damm schreibt:

Ein Schwamm saugt sich mit Wasser voll, ich gehe mal davon aus,
das sich das mit einfachsten Gleichungen beschreiben làsst.
Danach ist die Wasserkonzentration im Schwamm c die Lösung aus
der DGL:

d/dt c(x,t) = D d^2/dx^2 c(x,t)

(D=Diffusionskoeffizient)



Die Vereinfachung, nur eine Raumkoordinate zu notieren, darf man
nicht ernst nehmen. Das Diffusionsverhalten hàngt davon ab, in
wieviel Raumdimensionen ein Stoff diffundieren kann.

Meine Randbedingungen sind, dass c(x,0)=0 ist und dass c(0,t)=1
für t>0, c(0,t)=0 für t<0 ist. An sich ganz übersichtlich. Wie
verhàlt sich nun c(x,t)?



Mathematisch strömt bei Dir soviel Wasser aus dem _Ursprung_, daß
dort die Dichte den konstanten Wert 1 hat. Beim (Kugel-)Schwamm,
hingegen, ist die Dichte am Rand, bei x^2+y^2+z^2 = R^2, konstant.

Für t < 0 braucht man keine Bedingung. Es wird nur eine Lösung für
t > 0 gesucht.

Was mich übrigens am Ende interessiert ist, wieviel Wasser der
Schwamm nach einer Zeit aufgenommen hat, also
M(t) = \int_0^\infty c(x,t) dx.



Dazu braucht man keine Diffusionsgleichung lösen. Diffusion findet
von größerer zu niedrigerer Dichte statt, solange bis die
Dichteunterschiede ausgeglichen sind. Am Ende ist also soviel
Wasser eingeströmt, wie der Schwamm Volumen frei hatte. Einen groben
Anhalt über das Volumen, das das Material des Schwamms selbst benötigt,
gibt wohl sein Gewicht. Das eigentliche Material wird wohl wie
Holz oder Wasser eine Dichte von der Größenordnung 1 g/cm^3 haben.


Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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