Digitaler Filter: Amplitude und Phase

12/03/2008 - 17:39 von Andreas Weishaupt | Report spam
Hallo,

Ich bin nun schon ziemlich lange am herumtüfteln und krieg das Brett vor
dem Kopf einfach nicht weg. Es sei folgende zeitdiskrete
Transferfunktion gegeben:

H(z) = 1 + z^-1 + z^-2 + ... + z^-8

Man solle Amplituden- sowie Phasengang berechnen und darstellen.


Ich bin zuerst davon ausgegangen, dass:
H(z) = (1 - z^-8) / (1 - z^-1)

Und dann z = exp(j*omega):
|H(z)| = sqrt{Re[H(z)]^2 + Im[H(z)]^2}
arg(H(z)) = arctan{Im[H(z)]/Re[H(z)]}

und schliesslich aufzeichnen für omega [0,pi].

Soweit so gut, ich habe folgendes erhalten:
|H(z)| = sqrt[1-cos(omega)-cos(8*omega)] / [1 - cos(omega)]
arg(H(z)) = arctan(...relativ langer Ausdruck...)


. Nun, das Amplitudendiagramm gàbe zuerst einaml unendlich für omega=0 -
deshalb, ist mein Resultat korrekt?

. Desweiteren wollte ich fragen, wie ihr diese Aufgabe lösen würdet,
denn ich habe für die Berechnung von |H(z)| etwa eine Stunde aufgewendet
- ginge das nicht einfacher (mal abgesen von Matheprogrammen, die mir
irgendwie nur ganz lange Resultate ausgeben wollen)?

. Letzte Frage: Nun sei ein analoges Sinus-Eingangssignal, das mit Fs =
1 kHz abgetastet wird. Man solle die Frequenzen herausfinden, die vom
Filter "ausgelöscht" werden. Ich habe hier gerechnet:

1 - cos(omega) - cos(8*omega) = 0
cos(4.5*omega) * cos(3.3*omega) = 0.5

Wie löse ich diese Gleichung?


Vielen Dank

Andreas
 

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#1 Ralf Kusmierz
13/03/2008 - 03:47 | Warnen spam
X-No-Archive: Yes

begin quoting, Andreas Weishaupt schrieb:

Ich bin nun schon ziemlich lange am herumtüfteln und krieg das Brett vor
dem Kopf einfach nicht weg. Es sei folgende zeitdiskrete
Transferfunktion gegeben:

H(z) = 1 + z^-1 + z^-2 + ... + z^-8

Man solle Amplituden- sowie Phasengang berechnen und darstellen.

Ich bin zuerst davon ausgegangen, dass:
H(z) = (1 - z^-8) / (1 - z^-1)


^
9

Und dann z = exp(j*omega):
|H(z)| = sqrt{Re[H(z)]^2 + Im[H(z)]^2}
arg(H(z)) = arctan{Im[H(z)]/Re[H(z)]}

und schliesslich aufzeichnen für omega [0,pi].

Soweit so gut, ich habe folgendes erhalten:
|H(z)| = sqrt[1-cos(omega)-cos(8*omega)] / [1 - cos(omega)]



= SQRT([1-cos(9*omega)] / [1-cos(omega)])

arg(H(z)) = arctan(...relativ langer Ausdruck...)



Re(H(z)) = [1-cos(9*omega)+sin(9*omega)/tan(omega/2)]/2
Im(H(z)) = [sin(9*omega)-sin(8*omega)-sin(omega)]
/[2*(1-cos(omega))]

arg(H(z)) = arctan([sin(9*omega)-sin(8*omega)-sin(omega)]
/[(cos(9*omega)-1)*(cos(omega)-1)+sin(9*omega)*sin(omega)]

. Nun, das Amplitudendiagramm gàbe zuerst einaml unendlich für omega=0 -
deshalb, ist mein Resultat korrekt?



Nö: |H(z)|_omega=0 = 9

. Desweiteren wollte ich fragen, wie ihr diese Aufgabe lösen würdet,
denn ich habe für die Berechnung von |H(z)| etwa eine Stunde aufgewendet
- ginge das nicht einfacher (mal abgesen von Matheprogrammen, die mir
irgendwie nur ganz lange Resultate ausgeben wollen)?



Mit Derive hatte ich das in fünf Minuten. Und von Hand hàtte ich wohl
eine Viertelstunde gebraucht.

. Letzte Frage: Nun sei ein analoges Sinus-Eingangssignal, das mit Fs > 1 kHz abgetastet wird. Man solle die Frequenzen herausfinden, die vom
Filter "ausgelöscht" werden. Ich habe hier gerechnet:

1 - cos(omega) - cos(8*omega) = 0
cos(4.5*omega) * cos(3.3*omega) = 0.5

Wie löse ich diese Gleichung?



Nimm die richtige Gleichung: Die Nullstellen sind 9*omega=k*2*Pi

=> k = 9*omega/(2*Pi) <=> omega/(2*Pi) = k/9

Die Sperrfrequenzen sind also f0 = Fs * k/9

f0(0) = 0, f0(1) = Fs/9, f0(2) = 2*Fs/9, ...

also Vielfache von 111,11 Hz von Null bis Fs/2, also bis 444,44 Hz.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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