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Diophantische Gleichung

01/06/2010 - 19:03 von neubert | Report spam
Moin moin,

ich brauche Hilfe.


Ich suche die Lösung der diophantische Gleichung 11x +9y -125z = 14
Z.B. ist x= 101, y= 142 und z= 19 eine Lösung, denn:

11*101 +9*142 -19*125 = 1111 +1278 -2375 = 2389 -2375 = 14

Eine allg. Lösg. für x lautet x= x_0 + a*u + b*v,
mit u,v bel. ganzen Zahlen und a, b ganzzahligen - zu bestimmenden -
Parameter.
Die allg. Lösung ergibt sich aus einer speziellen Lösung von

11x +9y -125z = 14

(wobei man z.B. 11x +9y -125z = 1 löst, und die Lösung mit 14
multipliziert)
und 2 linear unabhàngigen Lösungen der homogene Gleichung

11x +9y -125z = 0

Lösungen existieren überhaupt, wenn der ggt(11,9,125)=1, 14 teilt -
also ja.

Zu 11x +9y -125z = 1 findet man schnell (x,y,z)= (9,3,1) als Lösung,
da
99 +27 -125 = 126 -125 = 1
Und zu 11x +9y -125z = 0 findet man ebenso schnell (x,y,z)= (4,9,1)
als Lösung, da
44 +81 -125 = 125 -125 = 0

Eine zweite, davon sicher linear unabhàngige Lösung liefert (x,y,z)(0,125,9), klar.

Also sollte der Ansatz gelten:

x= x_0 + 4u = 126 +4u
y= y_0 + 9u + 125v = 42 +9u +125v
z= z_0 + u + 9v = 14 +u +9v

Für u=1, v=0 folgt:

130*11 +51*9 -15*125= 1430 +459 -1250 -625= 1889 -1875= 14

Und für u=0, v=1 gilt:

126*11 +167*9 -23*125= 1386 +1523 -2500 -375= 2899 -2875= 14

Offenbar beides Lösungen von 11x +9y -125z = 14, nur mit

x= 126 +4u làßt sich niemals x= 101 (s.o.) als Lösung generieren!???


Aber, wenn man mit 11x +9y -125z = 14 rechnet:

y= (14 -11x +125z)/9 = 1 -x +13z +(5 -2x +8z)/9 = 1 -x +13z +a
a ganzzahlig, mit 9a= 5 -2x +8z, oder
x= (5 -9a +8z)/2 = 2 -4a +4z +(1 -a)/2 = 2 -4a +4z +b
b wieder ganzzahlig, mit 2b= 1 -a, oder a= 1 -2b. Und damit

Sei nun

Z= c, und damit x= 2 -4a +4c +b = 2 -4(1 -2b) +4c +b, also
x= -2 +9b +4c, und damit y= 1 +2 -9b -4c +13c +1 -2b = 4 -11b +9c,
also
y= 4 -11b +9c.

So hat man auch ein Lösungssystem mit 2 ganzzahligen Parameter (b,c),
weil für (X,y,z)= (-2,4,0) gilt: 11x +9y -125z = 14,
und weil für bel. (b,c) gilt: 11*(9b +4c) +9*(-11b +9c) -125c = 0

Und dieses liefert auch für c= 19 und y= 142, also b= (-4 -9*19 +142)/
11= 33/11= 3:
x= -2 +9*3 +4*19 = -2 +27 +76 = 101


Was mache ich falsch? Wer kann mir helfen?


Mit freundlichen Grüßen

Siggi N. - Hamburg
 

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#1 DerRoteQuetscher
01/06/2010 - 19:16 | Warnen spam
On 1 Jun., 19:03, wrote:
Moin moin,

ich brauche Hilfe.

Ich suche die Lösung der diophantische Gleichung  11x +9y -125z = 14
Z.B. ist x= 101, y= 142 und z= 19 eine Lösung, denn:

11*101 +9*142 -19*125 = 1111 +1278 -2375 = 2389 -2375 = 14

Eine allg. Lösg. für x lautet x= x_0 + a*u + b*v,
mit u,v bel. ganzen Zahlen und a, b ganzzahligen - zu bestimmenden -
Parameter.
Die allg. Lösung ergibt sich aus einer speziellen Lösung von

11x +9y -125z = 14

(wobei man z.B. 11x +9y -125z = 1 löst, und die Lösung mit 14
multipliziert)
und 2 linear unabhàngigen Lösungen der homogene Gleichung

11x +9y -125z = 0

Lösungen existieren überhaupt, wenn der ggt(11,9,125)=1, 14 teilt -
also ja.

Zu 11x +9y -125z = 1 findet man schnell (x,y,z)= (9,3,1) als Lösung,
da
99 +27 -125 = 126 -125 = 1
Und zu  11x +9y -125z = 0 findet man ebenso schnell (x,y,z)= (4,9,1)
als Lösung, da
44 +81 -125 = 125 -125 = 0

Eine zweite, davon sicher linear unabhàngige Lösung liefert (x,y,z)> (0,125,9), klar.

Also sollte der Ansatz gelten:

x= x_0 + 4u = 126 +4u
y= y_0 + 9u + 125v = 42 +9u +125v
z= z_0 + u + 9v = 14 +u +9v

Für u=1, v=0 folgt:

130*11 +51*9 -15*125= 1430 +459 -1250 -625= 1889 -1875= 14

Und für u=0, v=1 gilt:

126*11 +167*9 -23*125= 1386 +1523 -2500 -375= 2899 -2875= 14

Offenbar beides Lösungen von 11x +9y -125z = 14,   nur mit

x= 126 +4u làßt sich niemals x= 101 (s.o.) als Lösung generieren!???

Aber, wenn man mit 11x +9y -125z = 14 rechnet:

y= (14 -11x +125z)/9 = 1 -x +13z +(5 -2x +8z)/9 = 1 -x +13z +a
a ganzzahlig, mit 9a= 5 -2x +8z, oder
x= (5 -9a +8z)/2 = 2 -4a +4z +(1 -a)/2 = 2 -4a +4z +b
b wieder ganzzahlig, mit 2b= 1 -a, oder a= 1 -2b. Und damit

Sei nun

Z= c,            und damit x= 2 -4a +4c +b = 2 -4(1 -2b) +4c +b, also
x= -2 +9b +4c,   und damit y= 1 +2 -9b -4c +13c +1 -2b = 4 -11b +9c,
also
y= 4 -11b +9c.

So hat man auch ein Lösungssystem mit 2 ganzzahligen Parameter (b,c),
weil für (X,y,z)= (-2,4,0) gilt: 11x +9y -125z = 14,
und weil für bel. (b,c) gilt: 11*(9b +4c) +9*(-11b +9c) -125c = 0

Und dieses liefert auch für c= 19 und y= 142, also b= (-4 -9*19 +142)/
11= 33/11= 3:
x= -2 +9*3 +4*19 = -2 +27 +76 = 101

Was mache ich falsch? Wer kann mir helfen?

Mit freundlichen Grüßen

Siggi N. - Hamburg






You are NOT alone http://www.youtube.com/watch?v=3t8MeE8Ik4Y !

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