Diskrepanz zwischen Auf- und Abrundungen der Vielfachen einer Zahl

11/10/2010 - 00:50 von Rainer Rosenthal | Report spam
Wolfgang Thumser hat jüngst die folgende Aufgabe formuliert:

Von den n Vielfachen x, 2x, 3x,..., nx moegen l links
und r rechts zur jeweils naechsten natuerlichen Zahl
liegen (l+r=n). Ist die "Diskrepanz" |l-r| beschraenkt
fuer n -> oo?

Von Christopher Creutzig wurde die Aufgabe erfreut zur
Kenntnis genommen mit den Worten: "In der Tat, Wolfgang ist
einer dieser Menschen, die in scheinbar alten Bekannten
interessante neue Fragen sehen."

Christopher hat auch Ergebnisse aus Experimenten genannt:
ln(2), mein Hoffnungstràger für einen Beschrànktheitskandidaten,
zeigt bis n@0000 von wilden Oszillationen überlagerte langsame
Schwankungen im Bereich -6 <= l-r <= 4 mit einer Periodenlànge
um die 37500, grob geschàtzt. Danach bricht diese Periodizitàt
allerdings ein – ob die Werte dann über alle Schranken wachsen,
weiß ich aber noch nicht. (Meine Rechengenauigkeit war mehr als
ausreichend für zuverlàssige Ergebnisse, falls das jemand wissen
wollte. Ich habe sogar noch einmal mit aberwitzigen 1500 Dezimal-
stellen nachgerechnet, die Grafik hat sich nicht veràndert.)

x=PI scheint ein erstaunlich einfaches Verhalten mit bestàndig
wachsender Diskrepanz an den Tag zu legen – sqrt(2) und sqrt(7)
haben auch wachsende Diskrepanz, aber deutlich langsamer.

Die Rechnung für ln(2) habe ich bis n=6.000.000 fortgesetzt und
festgestellt, dass die Schwankung bis dahin nicht über 10 hinaus
geht. Natürlich habe ich dann probeweise das Hirn eingeschaltet,
aber schon die Analyse der Schwankungen bei den Zahlen x=0.1,
x=0.2, x=0.3 usw. führt zur Überforderung :-)
Immerhin stellen sich dabei Halluzinationen ein, die plötzlich
die vor einigen Monaten von Wolfgang Thumser gestellte Aufgabe
aufblitzen lassen, worin es um die Dezimalentwicklung von n!
ging.

Ich möchte hiermit die im Titel genannte Aufgabe aus dem alten
Thread "Vielfache irrationaler Zahlen fast ganzzahlig" heraus
lösen, weil dort eher allgemein zu diesem Thema diskutiert wird.

Weiteres Halluzinieren will ich mir im Moment verkneifen und
wünsche diesem Thread und somit der Aufgabe von Wolfgang Thumser
alles Gute.

Gruß,
Rainer
_________________________________________________________________
Rainer Rosenthal r.rosenthal@web.de
 

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#1 Rainer Rosenthal
18/10/2010 - 14:36 | Warnen spam
Rainer Rosenthal:
Wolfgang Thumser hat jüngst die folgende Aufgabe formuliert:

Von den n Vielfachen x, 2x, 3x,..., nx moegen l links
und r rechts zur jeweils naechsten natuerlichen Zahl
liegen (l+r=n). Ist die "Diskrepanz" |l-r| beschraenkt
fuer n -> oo?

... wünsche diesem Thread und somit der Aufgabe von Wolfgang
Thumser alles Gute.



Ich bekam eine Zuschrift per Mail, die auf Wolfgangs Frage die
Antwort erlaubt: im Allgemeinen ist die Diskrepanz nicht beschrànkt.

Um diesem Thread das von mir gewünschte zu tun, stelle ich diese
Zuschrift hier herein. Der Autor wird evtl. auch noch etwas zu
seiner interessanten Verbindung zu Kettenbrüchen sagen; ich möchte
es erst einmal bei seinem Beispiel belassen:

== Zuschrift von J. F. =...und ich glaube, ich habe den Fall x=sqrt(2) jetzt komplett verstanden.

Fangen wir mit n=1 an. Da wird abgerundet:

1
-

Der gebrochene Anteil von 1*sqrt(2) ist eine gute Nàherung für 1/2 (oder
auch umgekehrt ;-), deshalb geht es jetzt "antiperiodisch" weiter, d.h.
es kommt abwechselnd die Folge und die negierte Folge:

12345
-+-+-

Für 6 "rutscht" der Wert aber unter die 1/2-Grenze, weil hier die
nàchste (bessere) Nàherung erreicht wird:

123456
-+-+--

Jetzt wird es wieder antiperiodisch, bis zur nàchsten Nàherung (n5):

123456| 12| 18| 24| 30|
-+-+--|+-+-++|-+-+--|+-+-++|-+-+--|+-+-

Und so geht das weiter. Die Folge der a_k, bei denen es einen "Bruch"
gibt, erfüllt die Rekursionsgleichung

a_{k+1} = 6 * a_k - a_{k-1}

Jetzt können wir uns die Diskrepanzen ansehen. Bei 1 ist sie -1, in dem
antiperiodischen Teil (vor der 6) wechselt sie zwischen 0 und -1. Bei
n=6 fàllt sie bis auf -2, in der darauffolgenden Halbperiode (bis 12)
steigt sie bis 0, dann fàllt sie wieder bis -2, steigt auf 0, fàllt auf
-2 und dann kommt die nàchste "Grenzzahl". Somit gibt es neue Werte der
Diskrepanz immer erstmalig bei solch einer Grenzzahl. Jetzt muss nur
noch gezeigt werden, dass bei der k-ten Grenzzahl die Diskrepanz -k betràgt.

Dazu tun wir mal so, also ob die Periode nicht bis
a_{k+1} = 6 * a_k - a_{k-1}
sondern sogar bis 6 * a_k geht. Der einzige "Abweichler" ist der Wert
bei a_{k+1}. Bei 6 * a_k ist die Diskrepanz also -2 (ohne den Abweichler
wàre sie 0, bei den Abweichlern wird aber "unerwarteterweise" nach unten
gerundet). Die Folge von
a_{k+1}+1 bis 6 * a_k
ist dann (da sqrt(2)*a_{k+1} sehr nahe am 1/2-Wert liegt) die negierte
Folge von
1 bis 6 * a_k - a_{k+1} = a_{k-1},
und dort ist die Diskrepanz (nach Induktionsvoraussetzung) k-1.

Wir bekommen also für die Diskrepanz d am Punkt a_{k+1}:
d + (- (k-1)) = -2 ==> d = k + 1.

Zusammengefasst: Die Diskrepanz ist immer <=0, unterschreitet jede
Schranke, und nimmt den Wert -k erstmalig für n=a_k an.
== Ende der Zuschrift =
Gruß,
Rainer
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Rainer Rosenthal

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