Diskrete Differentialgeometrie?

13/09/2007 - 10:49 von Nicolas Ulmann | Report spam
Hallo,
ich bin im Rahmen meiner Diplomarbeit (in mathematischer Physik) auf ein
Problem gestoßen, für das ich gerne Hinweise zur geeigneten
mathematischen Beschreibung finden würde.
Und zwar handelt es sich um Operatoren auf einem Gittertorus Z_N x Z_N,
nennen wir sie O(m1,m2) (mit (m1,m2) e Z_N x Z_N).
Multipliziert man zwei davon, addieren sich die Indizes und man erhàlt
einen Phasenfaktor. Man kann auf diese Weise also einen Operator auf
einem geschlossenen Weg im Torus transportieren, wobei er einen
Phasenfaktor erhàlt. Nun sieht das doch ziemlich nach
Krümmungsgeschichten aus.

Mit Riemannscher Geomatrie, Faserbündeln etc. bin ich prinzipiell
vertraut, wenn auch nicht geübt. Kann mir Tipps geben, ob es da schon
eine passende Theorie gibt, auf die ich mich stützen kann?

Gruß
Nicolas
 

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13/09/2007 - 23:58 | Warnen spam
Hi Nicolas

On 13 Sep., 10:49, Nicolas Ulmann wrote:
Und zwar handelt es sich um Operatoren auf einem Gittertorus Z_N x Z_N,
nennen wir sie O(m1,m2) (mit (m1,m2) e Z_N x Z_N).
Multipliziert man zwei davon, addieren sich die Indizes und man erhàlt
einen Phasenfaktor.



Gib doch mal bitte die vollstàndige Gruppenstruktur dieser Operation
an, mit Phasenfaktor. Das könnte eine diskrete Variante der
Heisenberggruppe sein. In dem Fall kannst Du mit den Gruppenelementen
Translationen des Gitters asozieren und erhàlst über den Phasenfaktor
eine Quantisierungsbedingung an geschlossene Pfade die mit der
umlaufenen Flàche zusammen hàngt. Darauf aufbauend kann man eine nicht
kommutative Geometrie formulieren und deren Eigenschaften studieren.

Man kann auf diese Weise also einen Operator auf
einem geschlossenen Weg im Torus transportieren, wobei er einen
Phasenfaktor erhàlt. Nun sieht das doch ziemlich nach
Krümmungsgeschichten aus.



Ich weiss nicht genau, auf was Du hier hinaus willst. Aber wie gesagt,
gib mal die genaue Struktur an und dann schaun wir mal.

Gruß,

Andreas

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