Distanzen im Dreieck

24/07/2008 - 20:01 von Valerian | Report spam
Hallo allerseits,

zunàchst möchte ich anmerken, dass ich versuche, das Problem selbst
zu lösen, um die richtige Lösung auch zu verstehen. Wenn jemand
antwortet, würde ich mich sehr freuen, wenn nicht die Lösung, sondern
eher ein Fingerzeig, in welcher Richtung ich weitermachen sollte,
gepostet wird.

Ich rechne seit mehreren Tagen an folgendem Problem rum:

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Von einem Punkt P innerhalb des Dreiecks
kenne ich *nicht* die Koordinaten, jedoch die Abstànde AP(=.m) und
BP (=.n). Gesucht ist der Abstand CP (=.x).

P ist sicherlich eindeutig bestimmt (Zweikreisfigur über AB; nur einer
der beiden Schnittpunkte kann im Dreieck ABC liegen).

Mein erster Ansatz war, unter Zuhilfenahme des Cosinussatzes

x² = m² + b² - 2mb*cos(w(CAB)-w(PAB))

zu starten. (w(ABC) meint den Winkel in B zwischen AB und BC.)

Nach ein paar Schritten landete ich bei

x²=m²+b²-2mb[(b²+c²-a²)(c²+m²-n²)/4bc²x
+sqrt((1-(b²+c²-a²)²/4b²c²)(1-(c²+m²-n²)²/4c²m²))]

und spàtestens ab da begannen die folgenden Umformungen komplett
aus dem Ruder zu laufen.
Es kann natürlich sein, dass die Lösung tatsàchlich so hàsslich
aussieht, aber gefühlsmàßig hàtte ich eine "schönere" Lösung
erwartet, daher habe ich einen anderen Ansatz versucht:

Nachdem ich einen Beispielfall mit konkreten Zahlen durchgerechnet
hatte, habe ich versucht, den Weg mit Variablen nachzuvollziehen.

Dazu bediene ich mich den (rechtwinkligen) Koordinaten der Punkte
P = (p1|p2) usw..

Der Ansatz

(P-A)²=m²
(P-B)²=n²

gibt mir zwei Gleichungen, die ineinander eingesetzt die Beziehung

p2=((a1²+a2²-m²)-(b1²+b2²-n²)-(a1-b1)/(a2-b2)*p1

ergeben. (Das ist quasi die Gerade durch die Schnittpunkte der
Zweikreisfigur.)

Das zurück eingesetzt ergibt dann aber

(1+(a1-b1)²/(a2-b2)²)*p1²
+(2a2(a1-b1)/(a2-b2) -2a1-d(a1-b1)/(a2-b2)²)*p1 = m²-a²+da2/(a2-b2)-d²/4(a2-b2)²

(mit d.=(a1²+a2²-m²)-(b1²+b2²-n²))

und DAS quadratisch zu ergànzen, um dann einen Wurzelterm für p1 zu
erhalten führte zu noch abstruseren Gleichungen als der erste Weg.

Bin ich an einer Stelle "falsch abgebogen"? Oder hàtte ich noch einen
anderen Ansatz wàhlen sollen? Oder gibt es tatsàchlich keine "schöne"
Antwortgleichung für diese Aufgabe?

Für alle Vorschlàge dankbar,

Valerian K.
 

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#1 Jan Fricke
24/07/2008 - 23:12 | Warnen spam
Valerian wrote:
Bin ich an einer Stelle "falsch abgebogen"? Oder hàtte ich noch einen
anderen Ansatz wàhlen sollen? Oder gibt es tatsàchlich keine "schöne"
Antwortgleichung für diese Aufgabe?


Da Du ja keine komplette Lösung sondern nur Denkanregungen haben
möchtest, kann ich Dir empfehlen, das Problem mal ràumlich zu
betrachten. Stell Dir vor, Du hast ein Dreieck ABC und einen
zusàtzlichen Punkt P im *Raum*. Was bedeutet dann geometrisch, dass P
innerhalb des Dreiecks liegt? Wie kann man das berechnen?

Viele Grüße Jan

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