Doppelintegral

14/11/2012 - 10:47 von Brigitte | Report spam
Hallo,

ich würde gerne verstehen, wie man mit Doppelintegralen umgeht, und bitte um Hilfe (meine Schulzeit liegt lange zurück und ich mache Mathe so zum Spaß).

In vielen Lehrbüchern (z.B. Papula) wird so verfahren, dass man eine von zwei Variablen abhàngige Funktion vorgegeben bekommt, und diese dann (über entspr. Intervalle) integrieren soll.

Z.B.: f(x,y) = x^2 +y (der Zusammenhang zwischen x und y wird also vorgegeben).

Wie man die Integration formal durchführt, ist mir klar (zuerst inneres Integral, dann àußeres, auf Integrationsgrenzen aufpassen etc. ...)
Wo es hakt ist, wenn ich von einem konkreten Problem ausgehe und das berechnen soll.

Ein einfaches Beispiel:
Gegeben sei ein Einheitswürfel (Kantenlànge 1). Ich schaue von vorne auf den Würfel und führe ein Koordinatensystem ein: x-Achse nach re, y-Achse nach hinten, z-Achse nach oben.
Jetzt schneide ich den Würfel in zwei Hàlften und zwar von der li unteren Ecke zur re oberen (von vorne betrachtet). Die Schnittlinie gehorcht also der Gleichung f(z) = x (45-Grad Schnittlinie).
Nun setze ich mein Messer an der x-Achse an und schneide wiederum im 45-Grad-Winkel nach hinten oben den Würfel auf die hintere obere Kante zu entzwei. Die Schnittlinie ist also von re betrachtet f(z) = y
(Der Restkörper ist eine schiefe Pyramide mir der Spitze im hinteren Eck re oben des Würfels)

Dieses Volumen möchte ich durch Doppel-Integration berechnen.
Ich habe zwei Gleichungen: f(z)=x und f(z)=y aber nicht f(x,y) = ... irgendwas
Und genau an diesem Punkt komme ich nicht weiter. Ich habe keine Funktion, abhàngig von zwei Variablen, sondern zwei Funktionen, je abhàngig von einer Variablen.
Wo liegt hier mein Denkfehler? Wie muss ich vorgehen, um das Volumen per Doppelintegral zu berechnen?

Danke für die Hilfe und
Viele Grüße
Brigitte
 

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#1 Jan Fricke
14/11/2012 - 10:54 | Warnen spam
Hallo Brigitte,
On 11/14/2012 10:47 AM, Brigitte wrote:
Dieses Volumen möchte ich durch Doppel-Integration berechnen.
Ich habe zwei Gleichungen: f(z)=x und f(z)=y aber nicht f(x,y) = ... irgendwas
Und genau an diesem Punkt komme ich nicht weiter. Ich habe keine Funktion, abhàngig von zwei Variablen, sondern zwei Funktionen, je abhàngig von einer Variablen.
Wo liegt hier mein Denkfehler? Wie muss ich vorgehen, um das Volumen per Doppelintegral zu berechnen?



Der Denkfehler liegt darin, dass man für ein Volumen eigentlich ein
Dreifachintegral berechnen muss (nàmlich über alle 3 Koordinaten), und
die zu integrierende Funktion f(x,y,z) ist die Dichtefunktion, im
Allgemeinen also konstant 1.

Wenn Du nun das innere Integral (das nach z) auflöst, bekommst Du ein
Doppelintegral über eine Funktion f(x,y), die Dir angibt, wie lang die
Schnittstrecke des Körpers mit der Geraden durch (x,y,0) parallel zur
z-Achse ist.


Viele Grüße Jan

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