Drehimpuls des em. Feldes (klassisch)

03/11/2008 - 19:21 von Hendrik van Hees | Report spam
Da das Thema heute in einem anderen Thread aufgekommen ist, hat es mir
doch keine Ruhe gelassen, und ich habe nochmal über den Drehimpuls des
em. Feldes nachgedacht.

Die Logik ist imho am griffigsten folgendermaßen formuliert. Die
Erhaltungsgrößen eines dynamischen Systems folgen aus dem
Noethertheorem. Im Falle von Feldern sind die "Ströme" nur bis auf
totale Divergenzen eindeutig bestimmt, die erhaltenen "Ladungen" als
Integrale über raumartige Hyperflàchen sind eindeutig. Beim em. Feld
ist es aber wünschenswert, die lokalen Größen wie Energie- und
Impulsdichten sowie Drehimpulsdichten zu definieren. Es ergibt sich,
daß durch die Forderung nach Eichinvarianz diese Größen Eindeutig
definiert werden können. In rationalisierten Heaviside-Lorentzeinheiten
mit c=1 (imho die physikalisch sinnvollsten Einheiten für grundlegende
theoretische Betrachtungen und daher auch in der HEP allgemein
gebràuchlich) lauten die diversen Größen in vacuo (in dreidimensionaler
Form für ein beliebiges aber fest gewàhltes Inertialsystem
geschrieben):

\epsilon=1/2 (E^2+B^2) (Energiedichte)
S=E \times B (Energiestromdichte bzw. Impulsdichte)
J=x \times S (Gesamtdrehimpulsdichte)

des em. Feldes.

Nun ist

(E x B)_c=eps_{ckl} eps_{lmn} E_k \partial_m A_n
=... =E_k \partial_c A_k-E_k \partial_k A_c

Wegen div E=0 können wir also schreiben

J_a=eps_{abc} x_b (E \times B)_c=...
=eps_{abc} [E_k x_b \partial_c A_k+E_b A_c-\partial_k(x_b E_k A_c)]

Für eine endlich ausgedehnte Feldverteilung (also ein physikalisch
realistisches Wellenpaket, das in endlicher Zeit losgelaufen ist),
ergibt die Integration über den gesamten Raum, was zum Gesamtdrehimpuls
führt, daß man genausogut

\vec{J}'=E_k (x \times nabla) A_k+ E \times A)

als Drehimpulsdichte ansehen kann.

Durch das Weglassen der partiellen Ableitung ist das aber nicht mehr
eichinvariant, und damit ist es etwas irreführend, diesen Ausdruck
dahingehend zu interpretieren, daß der erste Term eine
Art "Bahndrehimupls" und der zweite Teil eine Art Spin sei. Wie schon
heute morgen gesagt, ist also hier hinsichtlich der physikal.
Interpretation größte Vorsicht geboten.

Bei Betrachtungen der Gesamtdrehimpulsdichte ist es allemal besser auf J
selbst zurückzugreifen, nicht J'!




Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
 

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#1 Norbert Dragon
04/11/2008 - 12:04 | Warnen spam
* Hendrik van Hees schreibt:

Im Falle von Feldern sind die "Ströme" nur bis auf
totale Divergenzen eindeutig bestimmt, die erhaltenen "Ladungen" als
Integrale über raumartige Hyperflàchen sind eindeutig. Beim em. Feld
ist es aber wünschenswert, die lokalen Größen wie Energie- und
Impulsdichten sowie Drehimpulsdichten zu definieren. Es ergibt sich,
daß durch die Forderung nach Eichinvarianz diese Größen eindeutig
definiert werden können.



Eindeutigkeit entsteht oft durch Mangel an Vorstellungsvermögen.

Jeder Strom j^m, der in der Herleitung des Noether-Theorems aus d_m j^m
abgelesen wird, ist nur eindeutig bis auf

j^m + d_n B^nm , B^mn = - B^nm

Insbesondere kann B^mn beliebig aus eichinvarianten Größen
zusammengesetzt sein.

Zudem ist die Frage, welche Transformation man mit Translationen und
Drehungen meint: man kann sie in der Elektrodynamik um begleitende
Eichtransformationen so ergànzen, daß die Änderung des Viererpotentials
eichinvariant ist.

Gleichung 5.195
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/relativ.ps.gz

Welche Form der erhaltenen Ströme richtig ist, ist eine schlecht
definierte Frage. Entscheidend ist, welche Schlußfolgerungen man
aus diesem oder jenem erhaltenen Strom ziehen kann.

J_a=eps_{abc} x_b (E \times B)_c=...
=eps_{abc} [E_k x_b \partial_c A_k+E_b A_c-\partial_k(x_b E_k A_c)]

Für eine endlich ausgedehnte Feldverteilung (also ein physikalisch
realistisches Wellenpaket, das in endlicher Zeit losgelaufen ist),
ergibt die Integration über den gesamten Raum, was zum Gesamtdrehimpuls
führt, daß man genausogut

\vec{J}'=E_k (x \times nabla) A_k+ E \times A)

als Drehimpulsdichte ansehen kann.

Durch das Weglassen der partiellen Ableitung ist das aber nicht mehr
eichinvariant, und damit ist es etwas irreführend, diesen Ausdruck
dahingehend zu interpretieren, daß der erste Term eine
Art "Bahndrehimupls" und der zweite Teil eine Art Spin sei.



Zu welchen irrigen Schlüssen sollen solche Bezeichnungen führen?

Bei Betrachtungen der Gesamtdrehimpulsdichte ist es allemal besser auf J
selbst zurückzugreifen, nicht J'!



Um zu entscheiden, ob eine Wahl "allemal besser" als eine andere ist,
braucht man die Vorstellung von "gut" und einen Überblick über "alle"
denkbaren Situationen. Dabei ist man erfahrungsgemàß vor Überraschungen
nicht gefeit.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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