Drehwinkel und Winkelgeschwindigkeit als Vektoren

26/06/2014 - 12:18 von Stephan Gerlach | Report spam
Wir betrachten eine Drehung um eine variable Drehachse im R^3.

Drehachse = phi
Zeit = t
Winkelgeschwindigkeit = w

Hierbei seien phi und w Vektoren, die von der Zeit t abhàngen.
Bekanntermaßen kann man phi durch eine Drehmatrix beschreiben
<http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix>.
Die Richtung des Vektors phi beschreibt, um welche Achse (momentan)
gedreht werden soll; der Betrag |phi| beschreibt, um wieviel Grad um
diese Achse gedreht werden soll. (Analog für w.)

Frage: Gilt folgender Zusammenhang?

d(phi) / dt = w

Für den Fall, daß phi und w skalare Größen sind bzw. man nur den Betrag
der betreffenden Vektoren betrachtet, ist das vollkommen klar. Zum
Zusammenhang zwischen den betreffenden Vektoren habe ich aber
komischerweise nichts gefunden.
Das könnte nun daran liegen, daß der Zusammenhang

a) falsch ist

oder

b) so offensichtlich, daß er keiner Erwàhnung bedarf.




Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Norbert Dragon
26/06/2014 - 14:44 | Warnen spam
* Stephan Gerlach schreibt:

Wir betrachten eine Drehung um eine variable Drehachse im R^3.

Drehachse = phi
Zeit = t
Winkelgeschwindigkeit = w

Hierbei seien phi und w Vektoren, die von der Zeit t abhàngen.
Bekanntermaßen kann man phi durch eine Drehmatrix beschreiben
<http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix>.
Die Richtung des Vektors phi beschreibt, um welche Achse (momentan)
gedreht werden soll; der Betrag |phi| beschreibt, um wieviel Grad um
diese Achse gedreht werden soll.

Frage: Gilt folgender Zusammenhang?

d(phi) / dt = w



Nein.

Bei Drehbewegungen eines Punktes x ist

x(t) = D(t) x(0)

wobei die Drehung

D(t) = exp delta(t) und delta(t) x = phi(t) Kreuz x

Die Winkelgeschwindigkeit omega ergibt sich aus

dx/dt = d/dt D(t) D^-1 x(t) = omega Kreuz x(t)

Es ist also die lineare Abbildung

omega Kreuz = (d/dt D(t)) D^-1

Um den Zusammenhang zu d/dt phi herzustellen, müßte man die
Ableitung der e-Funktion exp delta(t) durch die Ableitung von
delta darstellen. Das ist in A.48 von

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/qm.pdf

gegeben.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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