Drei aus sechs..

11/02/2009 - 19:42 von jf014 | Report spam
Hallo !
M ist eine Menge sechs positiver ganzer Zahlen kleiner dann
108.Gefragt wird zu zeigen dass man drei Zahlen aus M - wir nennen
sie a, b ,c - so waehlen kann dass a < b x c, b < c x a und c < a x
b.
Besten Dank fuer jede Hilfe !
Jules Finoulst
 

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#1 Stephan Gerlach
12/02/2009 - 14:42 | Warnen spam
jf014 schrieb:
Hallo !
M ist eine Menge sechs positiver ganzer Zahlen



Formalisierung: Sei M := {n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6}.

(#)
kleiner dann
108.



(*)
Gefragt wird zu zeigen dass man drei Zahlen aus M - wir nennen
sie a, b ,c - so waehlen kann dass a < b x c, b < c x a und c < a x
b.



Also das Produkt von 2 dieser Zahlen ist jeweils größer als die 3. Zahl.

Nur so als Idee:
Wir fragen uns, wie denn M beschaffen sein müßte, damit (*) *nicht*
gilt. Also wie muß M sein, daß ich *keine* 3 Zahlen a, b, c aus M finden
kann, so daß
a < b*c
b < c*a
c < a*b
gilt. Ich versuche, eine solche Menge M mit "möglichst kleinen
Elementen" zu konstruieren. Ich fange an und setze als erste beide
Elemente aus M
n_1 = 1,
n_2 = 2,
die kleinsten natürlichen Zahlen, die mir eingefallen sind. Nun ist eine
Zahl n_3 gesucht, so daß das Produkt n_1*n_2 <= n_3 ist, d.h. (*) soll
nicht gelten. Da bietet sich als kleinstmögliche Zahl
n_3 = 3
an, denn 1*2 < 3. Nun ist n_4 gesucht, und zwar muß n_4 so groß sein,
daß 1*2, 1*3 und 2*3 kleiner oder gleich n_4 sind. Eigentlich genügt es,
sich nur das Produkt der beiden größten "bisher in M vorhandenen Zahlen"
anzugucken, also 2*3. Als n_4 nehmen wir demnach einfach mal
n_4 = 6.
Wenn wir dieselbe Überlegung noch 2-mal anwenden, kommen wir auf
n_5 = 18
n_6 = 108.
Die größte Zahl aus der Menge M muß also mindestens 108 sein, wenn (*)
nicht gelten soll. Wenn die größte Zahl aus deiner Menge M nun *kleiner*
als 108 ist (siehe (#) oben), muß demzufolge (*) gelten.

Das Spiel kann man vermutlich fortsetzen auf Mengen M natürlicher Zahlen
mit mehr als nur 6 Elementen; die obere Schranke von M (in unserem
Beispiel 107) muß natürlich angepaßt werden.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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