Dreieck, Ungleichung

22/05/2010 - 09:38 von Peter Garscha | Report spam
Hallo,

ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabenstellung, dessen Sachverhalt
mit Euklid DynaGeo dargestellt werden soll. Mein Problem ist, dass ich
einige Teile der Angabe schon nicht verstehe:

1) Was hat es mit T aufsich?
2) Was bedeuten die Lambdas bzw. die Ungleichung?

Für Hilfe wàre ich sehr dankbar. lg, Peter

Aufgabe:

Es bezeichnen a, b, c die Seitenlàngen, r und q die Làngen von Um- und
Inkreisradius eines Dreiecks. Zudem sei T = 2*(r-2*q)sqrt(r*(r-2*q)). In
[1] gab Blundon als schàrfste Abschàtzung für a²+b²+c² die Ungleichung

(ƛ1)*r² + (ƛ2)*qr + (ƛ3)q² - (ƛ4)T <= a² + b² + c²
<= (ƛ1)r² + (ƛ2)qr + (ƛ3)q² + (ƛ4)T

mit ƛ1=4, ƛ2, ƛ3=-3 und ƛ4=2. Diese seither oft zitierte Ungleichung
ist falsch, was man schnell einsieht, wenn man ein gleichseitiges
Dreieck betrachtet. Welches sind die korrekten Werte für ƛ1, ƛ2, ƛ3, ƛ4?
 

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#1 Jutta Gut
22/05/2010 - 14:04 | Warnen spam
"Peter Garscha" schrieb
Hallo,

ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabenstellung, dessen Sachverhalt
mit Euklid DynaGeo dargestellt werden soll. Mein Problem ist, dass ich
einige Teile der Angabe schon nicht verstehe:

1) Was hat es mit T aufsich?
2) Was bedeuten die Lambdas bzw. die Ungleichung?

Für Hilfe wàre ich sehr dankbar. lg, Peter

Aufgabe:

Es bezeichnen a, b, c die Seitenlàngen, r und q die Làngen von Um- und
Inkreisradius eines Dreiecks. Zudem sei T = 2*(r-2*q)sqrt(r*(r-2*q)). In
[1] gab Blundon als schàrfste Abschàtzung für a²+b²+c² die Ungleichung

(ƛ1)*r² + (ƛ2)*qr + (ƛ3)q² - (ƛ4)T <= a² + b² + c²
<= (ƛ1)r² + (ƛ2)qr + (ƛ3)q² + (ƛ4)T

mit ƛ1=4, ƛ2, ƛ3=-3 und ƛ4=2. Diese seither oft zitierte Ungleichung
ist falsch, was man schnell einsieht, wenn man ein gleichseitiges Dreieck
betrachtet. Welches sind die korrekten Werte für ƛ1, ƛ2, ƛ3, ƛ4?



Anders formuliert:
Blundon behauptet, dass a^2 + b^2 + b^2 immer zwischen
4*r^2 + 16*qr - 3*q^2 - 2*2*(r-2*q)sqrt(r*(r-2*q)) und
4*r^2 + 16*qr - 3*q^2 + 2*2*(r-2*q)sqrt(r*(r-2*q)) liegt.
Diese Abschàtzung ist falsch. (Ich habs nicht überprüft).
Wie lauten die korrekten Koeffizienten?

Damit die Ungleichungen leichter zu lesen sind, hat der Autor für
2*(r-2*q)sqrt(r*(r-2*q)) die Bezeichnung T eingeführt.

Grüße
Jutta

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