Dreiecksfläche - geometrisch-intuitiver Beweis

29/01/2013 - 12:25 von Jon J Panury | Report spam
Das kennt jeder:
Basis mal Höhe geteilt durch zwei:

F = (b * h) / 2

Das kann man auch schon anschaulich (intuitiv) darstellen, wenn die
beiden Seiten, die nicht Basis sind, jeweils die Diagonale eines
Teilrechtecks sind, das durch h erzeugt wird.

Wie aber verhàlt es sich intuitiv-geometrisch, wenn das Dreieck so
steht, dass die Höhe *außerhalb* des Dreiecks liegt, wenn also ein
stumpfer Winkel im Spiel ist?

(Dass man dann - zum intuitiven Beweis - einfach eine andere Höhe
betrachtet und mit ihr den intuitiven Beweis ausführt, bleibe mal
außer Betracht.)

Da hàtten wir dann natürlich auch ein Rechteck Basis*Höhe, aber mit
den Teilrechtecken klappt es dann nicht mehr.

Ein geometrisch-intuitiver Beweis liefe auf den Beweis der
Flàchengleichheit zweier Dreiecke hinaus, die in nichts außer einem
Winkel überein stimmen. Bitte einfach mal selbst zeichnen!

Man kann hier im Usenet keine Konstruktionen kommunizieren.
Mich würde nur erstmal interessieren, ob dieser Beweis überhaupt
machbar ist.
Ich habe mit GeoGebra eine einfache Konstruktion angefertigt, wo das
Problem anschaulich gemacht wird.
Bei Interesse kann ich versuchen, das zugànglich zu machen zB mit
Dropbox, einfach als Screenshot-bmp.
 

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#1 Helmut Richter
29/01/2013 - 13:11 | Warnen spam
On Tue, 29 Jan 2013, Jon J Panury wrote:

Das kennt jeder:
Basis mal Höhe geteilt durch zwei:

F = (b * h) / 2

Das kann man auch schon anschaulich (intuitiv) darstellen, wenn die
beiden Seiten, die nicht Basis sind, jeweils die Diagonale eines
Teilrechtecks sind, das durch h erzeugt wird.



O.B.d.A. sei AB die Basis und h_c die Höhe. Der Höhenfußpunkt auf der Geraden
AB heiße H. Man hat dann die Dreiecke AHC und BHC, die sich jeweils i.A.
eindeutig zu einem Rechteck ergànzen lassen und deren Summe das Dreieck
ist. Damit hat man auch dessen Flàche.

Wie aber verhàlt es sich intuitiv-geometrisch, wenn das Dreieck so
steht, dass die Höhe *außerhalb* des Dreiecks liegt, wenn also ein
stumpfer Winkel im Spiel ist?

Da hàtten wir dann natürlich auch ein Rechteck Basis*Höhe, aber mit
den Teilrechtecken klappt es dann nicht mehr.



Wie oben. Der Höhenfußpunkt auf der Geraden AB heiße wieder H. Man hat dann
die Dreiecke AHC und BHC, die sich jeweils i.A. eindeutig zu einem Rechteck
ergànzen lassen und deren *Differenz* diesmal das Dreieck ist. Damit hat man
auch dessen Flàche.

Ich sehe das Problem nicht recht.

Man kann auch einen einzigen Beweis für beide Fàlle führen, indem man bei
ungekehrter Orientierung des Dreiecks (also A->B->C im Uhrzeigensinn statt
dagegen) die Flàche negativ rechnet. Aber das wàre mit Kanonen auf Spatzen
geschossen.

Helmut Richter

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