Dreifachintegrale: Kugelkappe, Kugelkegel...

29/01/2008 - 16:20 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

ich möchte gerne lernen, das Volumen einer Kugelkappe und eines
Kugelkegels mit Dreifachintegralen zu berechnen (und vielleicht auch
andere Volumina an der Kugel). Ich studiere Physik und habe in in
vielen Büchern, die etwa "Mathematik für Physiker" oder "Mathematische
Rechenmethoden für Physiker" heißen, das entsprechende Thema gefunden
(z.B. im Großmann, Weltner, Papula). Aber nirgendwo wagen sich die
Autoren an eines der Kugelprobleme. Könnt Ihr mir ein Buch empfehlen,
wo solche Integrale gezeigt werden (Übungsaufgaben dazu wàren
natürlich auch klasse)?

Gruß
Alexander
 

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#1 Roland Franzius
29/01/2008 - 20:05 | Warnen spam
Alexander Erlich schrieb:
Hallo,

ich möchte gerne lernen, das Volumen einer Kugelkappe und eines
Kugelkegels mit Dreifachintegralen zu berechnen (und vielleicht auch
andere Volumina an der Kugel). Ich studiere Physik und habe in in
vielen Büchern, die etwa "Mathematik für Physiker" oder "Mathematische
Rechenmethoden für Physiker" heißen, das entsprechende Thema gefunden
(z.B. im Großmann, Weltner, Papula). Aber nirgendwo wagen sich die
Autoren an eines der Kugelprobleme. Könnt Ihr mir ein Buch empfehlen,
wo solche Integrale gezeigt werden (Übungsaufgaben dazu wàren
natürlich auch klasse)?



Die Volumenform als Integrand ist das vollstàndig antisymmetrische
Produkt von linaren einsimensionalen Formen dx usw für Linienintegrale

dV = dx ^ dy ^ dz

Kugelkoordinaten erhàlt man mit

x1 = y1 cos y2 sin y3
x2 = y1 sin y2 sin y3
x3 = cos y3

Die Jacobimatrix ist die Matrix der lineraren Abbildung der
Differentiale nach der Kettenregel,
dxi = sum_k dxi/dyk dyk = dyk J_k,i

Wegen der Antisymmetrie des Produkts bleiben im Volumenelement nur alle
Terme mit verschiedenen Indizes und die Determinante der Jacobimatrix


dV = dy1^ ( y1 dy2 ) ^ (y1 sin y2 dy^3)

also das Produkt der orthogonalen làngengenormten Differentiale.


Das Volumen eines Kugelkreiskegels um die x3-Achse mit Öffnungswinklel
alpha hat die Koordinatenbereiche

(0<y1<R) x (0<y2<alpha) x (0<y3<2pi),

Sein ist Volumen also

int_0^R dr r^2 ( int_0^alpha dtheta sin theta ( int_0^(2pi) dphi)
= (int_0^R dr r^2) * ( int_0^alpha dtheta sin theta ) * 2 pi
= 2 pi R^3/3 (1-cos alpha )
= 4 pi R^3/3 sin^2 (alpha/2)

Für alpha = pi ergibt sich das Kugelvolumen. Jeder irgendwie berandete
Kugelkegel hat vom Vollvolumen offenbar nach obiger Formel genau
denselben Anteil am Volumen wie seine Kugelkalotte an der Kugeloberflàche.

Zur Berechnung des Kalottenvolumens ziehst du das Kegelvolumen unter der
Kalotte davon ab. Dessen Volumen beechnet man besser in Zylinderkoordinaten.


Roland Franzius

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