Dualer/adjungierter Operator

19/04/2011 - 13:06 von Stephan Gerlach | Report spam
Ganz blöde Frage:

Wir betrachten C (komplexe Zahlen) als Banachraum über dem Körper C.
Wir betrachten weiterhin den Dualraum C' von C, wobei in diesem Fall
nach meiner Auffassung C' = C (zumindest isomorph) gelten sollte.
Wir betrachten nun den linearen Operator
T: C -> C
gemàß
T(z) := i*z für alle z e C.
Hierbei sei i die imaginàre Einheit.
Man kann in diesem Fall, da alles endlich-dimensional ist, T auch als
1x1-Matrix auffassen, d.h.
T = (i).
Stellt man sich nun die Frage nach dem dualen Operator
T': C -> C,
so komme ich durch formales Anwenden der Definition irgendwie immer
darauf, daß
T'(z) = i*z für alle z e C
ist bzw.
T' = (i)
als Matrixdarstellung.

Sollte nicht aber
T' = (-i)
rauskommen?
Das, also (-i), kommt nàmlich bekanntermaßen heraus, wenn man C als
Hilbertraum über C betrachtet und sich die Frage nach dem adjungierten
Operator T^* (im "Hilbertraum-Sinne") stellt. Also es gilt
T^* = (-i).
Das gilt, da in endlich-dimensionalen C-Hilbert(!)ràumen die Bildung des
adjungierten Operators der Bildung der entsprechenden adjungierten
(*nicht* transponierten) Matrix bedeutet.

Wo ist der Fehler (gibt es überhaupt einen?) in der Überlegung mit T'?


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

Lesen sie die antworten

#1 Detlef Müller
19/04/2011 - 19:21 | Warnen spam
Am 19.04.2011 13:06, schrieb Stephan Gerlach:
Ganz blöde Frage:

Wir betrachten C (komplexe Zahlen) als Banachraum über dem Körper C.
Wir betrachten weiterhin den Dualraum C' von C, wobei in diesem Fall
nach meiner Auffassung C' = C (zumindest isomorph) gelten sollte.
Wir betrachten nun den linearen Operator
T: C -> C
gemàß
T(z) := i*z für alle z e C.
Hierbei sei i die imaginàre Einheit.
Man kann in diesem Fall, da alles endlich-dimensional ist, T auch als
1x1-Matrix auffassen, d.h.
T = (i).
Stellt man sich nun die Frage nach dem dualen Operator
T': C -> C,
so komme ich durch formales Anwenden der Definition irgendwie immer
darauf, daß
T'(z) = i*z für alle z e C
ist bzw.
T' = (i)
als Matrixdarstellung.



Wurde dabei auch bedacht, daß das Skalarprodukt
<x,y> in einer Komponente linear und in der anderen
"semilinear" ist, also <x,a*y> = konj(a) * <x,y>
gelten muß?

für obiges T' komme ich dann nàmlich auf

<T(1),1> = <i,1> = i <1,1> = <1,-i> != <1,T'(1)>.

wàhrend es für (-i) klappt.

Gruß,
Detlef


Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

Ähnliche fragen