Dyadisches Produkt

25/04/2009 - 20:43 von Stefan Sprungk | Report spam
Ich verusche etwas Tensorrechnung zu lernen. Hierbei komme ich bereits
mit dem dyadischen Produkt nicht mehr klar, wenn die Tensoren über die
Stufe 2 hinauswachsen.

Stufe 0:
Skalar z.B. a E |R

Stufe 1:
Vektor bezogen auf feste Basis z.B. u=(u1,u2,u3) und v=(v1,v2,v3)

Dyadisches Produkt u v liefert einen Tensor zweiter Stufe.

Stufe 2: / u1v1 u1v2 u1v3 \
T= u v = (u1,u2,u3) (v1,v2,v3) = | u2v1 u2v2 u2v3 |
\ u3v1 u3v2 u3v3 /

Bilde ich nun das dyadische Produkt z.B. u T sollte eine Tensor dritter
Stufe herauskommen. Hier ist mir nicht klar, wie ich die Komponenten
berechne und darstelle.

P = u T

Bildungsgesetz Pijk = uk Tij

/ T11 T12 T13 \
P= u T = (u1,u2,u3) | T21 T22 T23 |
\ T31 T32 T33 /

Das unten ist alles was mir dazu einfàllt. Es kommt mir falsch und
unvollstàndig vor.

/ u1T11 u1T12 u1T13\ / P111 P112 P113 \
P=| u2T21 U2T22 u2T23| = | P221 P222 P223 |
\ u3T31 u3T32 u3T33/ \ P331 P332 P333 /

Alle mir vorliegenden Beispiele enden bei der Stufe 2

MFG Stefan
 

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#1 Martin Frisch
25/04/2009 - 21:12 | Warnen spam
Stefan,


Ein (kontravarianter) Tensor dritter Stufe ist einfach eine Abbildung,
die einem Tripel von Vektoren (a,b,c) eine skalare Grösse (in diesem
Fall eine reele Zahl) auf lineare Weise zuordnet.

P(a,b,c) = sum_ijk P_ijk a_i b_j c_k

Die (27) Komponenten von P sind - wie du schon schriebst - in diesem
Fall genau

Bildungsgesetz Pijk = uk Tij



Diese 27 Zahlen magst Du dir gerne als Würfel vorstellen (wie im Falle
Tensoren 2-ter Stufe als Matrizen), für den Begriff des Tensors ist
ein solches Schema jedoch nicht notwendig.

War das deine Frage?

Gruss,
Martin

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