Eigentlich orthochrone Lorentzgruppe

05/02/2009 - 13:55 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo zusammen

Wie sieht man, dass die eigentlich orthochrone Lorentzgruppe SO(1,3)^+
nicht einfach zusammenhàngend ist, d.h. dass nicht jeder geschlossene
Pfad in SO(1,3)^+ zu einem Punkt zusammengezogen werden kann? Und warum
genau ist das in der Darstellungstheorie unangenehm, d.h. warum sucht
man dann eine einfach zusammenhàngende Überagerungsgruppe, die SL(2,C)?

Gruss,
Daniel
 

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#1 Hendrik van Hees
05/02/2009 - 16:16 | Warnen spam
Daniel Arnold wrote:

Hallo zusammen

Wie sieht man, dass die eigentlich orthochrone Lorentzgruppe
SO(1,3)^+ nicht einfach zusammenhàngend ist, d.h. dass nicht jeder
geschlossene Pfad in SO(1,3)^+ zu einem Punkt zusammengezogen werden
kann? Und warum genau ist das in der Darstellungstheorie unangenehm,
d.h. warum sucht man dann eine einfach zusammenhàngende
Überagerungsgruppe, die SL(2,C)?



Zum ersten Punkt betrachten wir den einfacheren Fall der Drehgruppe
SO(3). Du kannst Dir die Drehungen durch einen (axialen)
Einheitsvektor (Drehachse) und einen Winkel zwischen 0 und pi
parametrisiert vorstellen. Die Drehung erfolgt nach der
Rechtehandregel um den gegebenen Drehwinkel.

Als Gruppenmannigfaltigkeit kannst Du Dir also eine Kugel mit Radius
pi vorstellen. Jeder Punkt innerhalb der Kugel identifiziert genau
eine Drehung. Das ist aber nicht so auf dem Kugelrand, denn das
entspricht Drehungen um den Winkel pi, und antipodale Punkte auf dem
Rand bezeichnen also dieselbe Drehung. Die Mannigfaltigkeit ist also
nicht einfach die Kugel, sondern die Kugel, wobei antipodale Punkte
auf dem Rand identifiziert sind. Ein beliebiger Durchmesser der Kugel
ist also eine geschlossene Kurve, aber egal was Du unternimmst, sie
einem Punkt zusammenzuziehen, Du kannst das nicht so tun, daß die
deformierten Kurven stets geschlossen bleiben. Die SO(3) ist also
mehrfach zusammenhàngend.

Betrachtet man aber nun die geschlossene Kurve, die durch sich aus
einem Durchmesser ergibt, die einmal hin und einmal wieder zurück
durchlaufen wird, kannst Du zunàchst die eine dann die andere Hàlfte
auf die Oberflàche der Kugel deformieren, so daß sie nun einen
Großkreis auf der Oberflàche bilden, und der làßt sich dann weiter
auf der Oberflàche zu einem Punkt zusammenziehen, d.h. mit einer
zweifachen Überlagerung wird das Gebilde einfach zusammenhàngend. Das
Beispiel entspricht einer Drehung um 4pi, und in der Tat ist die
SU(2) die einfach zusammenhàngede Überlagerungsgruppe der SO(3).

So àhnlich verhàlt es sich dann auch mit der SO(1,3)^, aber da habe
ich kein anschauliches Bild mehr parat.

Zu Deiner zweiten Frage: Die Drehgruppe bzw. eigentlich orthochrone
Lorentzgruppe in der QT sind jeweils als deren Überlagerungen
realisiert. Das liegt daran, daß man rotations- bzw.
lorentzinvariante (bzw. Poincareinvariante) Theorien konstruieren
muß, damit man konsistent mit der Symmetrie der Raumzeitstruktur
bleibt. Poincareinvarianz bedeutet hier übrigens genauer formuliert,
Invarianz unter der eigentlich orthochronen Poincaregruppe.

Die Theorie muß übrigens nicht notwendig auch unter den diversen nicht
mit der Identitàt zusammenhàngenden Komponenten der Poincaregruppe
symmetrisch sein, und wie das Standardmodell der Elementarteilchen
lehrt, ist die Natur auch unter dieser vollen Poincaregruppe nicht
invariant. Es sind empirisch sowohl P (Raumspiegelung) als auch CP
(Raum-Ladungskonjugationsspiegelung) keine (exakten) Symmetrien in
der Natur, und nach dem CPT-Theorem zufolge also auch T
(Zeitspeigelung) nicht.

Zurück zu der Zusammenhangskomponente mit der Identitàt, also zur
eigentlich orthochronen Poincare- bzw. Lorentzgruppe. Die muß
Symmetrie der Quantentheorie sein, damit man mit der Struktur der
speziell-relativistischen Raumzeit konsistent ist. Weiter muß man
aber fragen, wie Symmetrien in der QT realisiert werden müssen. Dazu
muß man sich weiter fragen, wie die Zustànde des Systems realisiert
sind und was es bedeutet, daß eine Transformation den Zustand nicht
àndert.

In der Quantentheorie werden (reine) Zustànde durch Strahlen in einem
komplexen Hilbertraum repràsentiert, d.h. jeder von 0 verschiedene
Vektor |psi> repràsentiert einen Zustand, wobei Vektoren, die sich
nur um einen von 0 verschiedenen Faktor unterscheiden, identifiziert
werden. Man kann sich àquivalent dazu auch auf Einheitsvektoren
beschrànken. Ein Zustand bestimmt aber auch dann den
repràsentierenden Vektor nur bis auf einen Phasefaktor. Symmetrien
werden also durch ein Transformationsgesetz von der Gestalt

|psi> -> exp(i phi) U |psi>

bestimmt, wobei U eine unitàre Transformation und phi eine beliebige
Phase sind.

Hat man es mit einer ganzen Symmetriegruppe zu tun, muß eine
Strahldarstellung vorliegen, d.h. es muß gelten

U(g1) exp[i phi(g1)] U(g2) exp[i phi(g2)]
=U(g1) U(g2) exp[i(phi(g1)+phi(g2))]
=U(g1 g2) exp[i(phi(g1 g2)],

d.h. es muß gelten

U(g1) U(g2)=U(g1 g2), phi(g1)+phi(g2)=phi(g1 g2).

Im quantenmechanischen Sinne ist weiter jede Strahldarstellung
physikalisch àquivalent zu einer beliebigen anderen
Strahldarstellung, wo man nur die Phasen phi(g) àndert.

Bei manchen Gruppen kann man die Phasen durch beliebige Umdefinition
der Phasen zum Verschwinden bringen (wobei man natürlich darauf zu
achten hat, daß die Strahldarstellungseigenschaften erfüllt bleiben).
Das ist bei der Poincaregruppe der Fall. Jede Strahldarstellung ist
also zu einer gewöhnlichen unitàren Darstellung àquivalent.

Das ist bei der Galileigruppe übrigens nicht der Fall. Ihre Liealgebra
besitzt eine sog. nichttriviale Zentralladung, die man nicht durch
bloße Umdefinition von Phasen in der Darstellung zum Verschwinden
bringen kann. Man kann aber die Liealgebra einfach um diese
Zentralladung erweitern und das dann via Exponentialfunktion zu einer
neuen Gruppe liften, die man zentrale Erweiterung der Galileigruppe
nennt. Die Zentralladung ist übrigens physikalisch gesehen die Masse
des Teilchens. Man kann übrigens zeigen, daß unitàre Darstellungen
der ursprünglichen Galileigruppe nicht zu einer Quantentheorie
führen, die sich physikalisch sinnvoll interpretieren lassen. Dazu
muß man die besagte zentrale Erweiterung bilden, die man auch auf
naive Weise wie üblicherweise in den meisten Lehrbüchern angegeben
durch Galileitransformation der Schrödingergleichung findet. Man
sieht dabei, daß die Wellenfunktion notwendig mit einem Phasenfaktor
zu multiplizieren ist.

Weiter sieht man auch, daß man die Drehgruppe innerhalb der
Poincaregruppe (bzw. der Gelileigruppe) durch ihre Überlagerung SU(2)
ersetzen kann, denn eine Drehung um 2 pi entspricht auch bei
halbzahligen Darstellungen der SU(2) einfach der Multiplikation mit
dem Phasenfaktor (-1). Ebenso verhàlt es sich dann mit der eigentlich
orthochronen Lorentzgruppe, die man durch ihre Überlagerung, die
SL(2,C) ersetzen kann.

Daß man das auch braucht, um die Natur korrekt zu beschreiben, zeigt
Wigners Klassifikation der unitàren Darstellungen der Poincaregruppe.
Da gibt es halbzahlige und ganzzahlige Darstellungen, und verlangt
man dann noch Lokalitàt, Mikrokausalitàt und die Existenz eines
stabilen Grundzustands (also Beschrànktheit des Energiespektrums nach
unten), erkennt man, daß Darstellungen mit halbzahligem Spin
notwendig zu Bosonen führen. Da es in der Natur nachgewiesenermaßen
jede Menge Fermionen gibt, kommt man also ohne die halbzahligen
Darstellungen der Poincaregruppe nicht aus. In der Tat hat man
bislang auch noch keine Ausnahme von diesem Spin-Statistiktheorem
gefunden.

Betrachtet man dann noch die Erweiterung der Darstellungen um die
diversen Raum-Zeitspiegelungen, zu denen sich dann auch noch die
Ladungskonjugationstransformation gesellt, sieht man, daß jede solche
Realisierung einer unitàren Darstellung mittels einer lokalen,
mikrokausalen QFT mit stabilem Grundzustand notwendig auch invariant
unter der CPT-Transformation sein muß. Wie oben schon gesagt, braucht
die Theorie aber nicht notwendig für sich C, P, T oder CP usw.
invariant zu sein, und das ist ja eben in der Natur auch nicht der
Fall.

Du findest eine genauere Behandlung all dieser Zusammenhànge in meinem
QFT-Skript auf meiner Homepage:

http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/lect.pdf


Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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