Eigenwert und Eigenvektor

08/06/2009 - 18:07 von l.letztefrage | Report spam
Hallo an alle,

eigentlich habe ich ein ganz bescheidenes Problem.

Ich möchte zu einer 3X3 Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen,
weil ich "Haupttàgheitsachsen" errmitteln will. Haupttràgheitsachsen
sind was technisches, ohne nàher darauf einzugehen.

Alles hat ganz einfach bei mir angefangen, mit der Bestimmung des
Charakteristische Polynoms. Bei der Bestimmung der Anzahl der
Nullstellen muss ich prüfen, ob ein Wert gleich Null ist. Das wirft
Probleme auf! Prompt hat die Formel von Cardano bei der Testrechnung
"versagt", die Diskriminante hàtte 0 sein sollen, war aber 1E-20, was
letzlich zu einer falschen Anzahl von Eigenwerten geführt hat, und
auch zu falschen (!) Eigenwerten.

Was ich eben benötige, sind einfach nur die Eigenvektoren ud
Eigenwerte (reell), meinetwegen "ungenau", aber technisch brauchbar
und verlàßlich. Möglicherweise ist technisch gesehen ein Eigenvektor,
der "fast einer wàre (knapp daneben geschielt, oder der Eigenwert ist
"fast" reell)", technisch zuweilen als brachbar zu behandeln, und man
bekommt brauchbere Rechenergebnisse Ergebnisse heraus.

Welche Verfahren kann ich denn da anwenden? Ich weiss mittlerweile,
dass es einen ganzen Schwarm von Algorithmen gibt. Leider sind die
Algorithmen ziemlich ausladend, weshalb ich davor zurückschrecke, und
auf die Sache mit der denm Charakteristischen Polynom gekommen bin.
Letzte Woche habe ich einen Algorithmus aus einer Bibliothek
compiliert und musste feststellen, dass er wahrscheinlich fehlerhaft
implementiert war. Sowas ist mir nicht zum ersten Mal passiert.

Ich erinner mich, dass ich schon mal ein àhnliches Problem hatte. Es
ging darum festzustellen, ob eine Matrix invertierbar ist, um Aussagen
über ein technisches System zu machen. Die Untersuchung über die
Determinante war nicht praktikabel, wegen numerischer Probleme (Test
auf =0). Der Trick bestand leztlich darin, die Matrix in eine
Diagonalmatrix zu verwandeln. Das Verhàltnius vom Kleinsten zum
Grössten Diagonalelement hat mir eine "Quantitative, technische und
verwertbare" Aussage gegeben zur Invertierbarkeit, kein mathematisches-
qualitatives Entweder-Oder, das aus numerischen Gründen eh nicht zu
erlangen ist.

Also meine Frage ist, mit welchen Algorithmen finden Ingenieure am
besten Eigenvektoren und Eigenwerte?

Gruß
Leo
 

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#1 Florian Buerzle
08/06/2009 - 19:19 | Warnen spam
Hi!

schrieb:
Hallo an alle,

eigentlich habe ich ein ganz bescheidenes Problem.

Ich möchte zu einer 3X3 Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen,
weil ich "Haupttàgheitsachsen" errmitteln will. Haupttràgheitsachsen
sind was technisches, ohne nàher darauf einzugehen.


^^^^^^^^^^^
Zuerst einmal sind Haupttràgheitsachsen etwas mathematisches ;-)
Die Haupttràgheitsachsen, die du vermutlich meinst (die eines starren
Körper) sind nur ein Spezialfall eines viel allgemeineren mathematischen
Konzepts, siehe

http://de.wikipedia.org/wiki/Haupta...sformation

Also meine Frage ist, mit welchen Algorithmen finden Ingenieure am
besten Eigenvektoren und Eigenwerte?



Mit MATLAB? Das ist eine Vermutung, da MATLAB in den
Ingenieurswissenschaften sehr beliebt zu sein scheint. Ich selbst habe
noch nie etwas ernsthaftes mit MATLAB gemacht, aber ich gehe davon aus,
dass es zuverlàssige Löser für Eigenwertprobleme implementiert hat.
Octave, ein Freeware-Clone von MATLAB sollte so etwas auch haben.

Wenn du in einer klassischen Programmiersprache (Fortran, C,...)
programmieren möchtest oder musst, gibt es da zum Beispiel die GNU
Scientific Library oder den Klassiker LAPACK in verschiedenen
Implementierungen:

http://www.gnu.org/software/gsl/
http://en.wikipedia.org/wiki/LAPACK

Viel Erfolg
Florian

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