Eigenwerte ganzzahliger Matrizen

25/02/2014 - 22:14 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
der andere Thread bringt mich zu folgender Frage:

Welche reellen Zahlen sind als Eigenwerte einer *symmetrischen*
ganzzahligen Matrix möglich?

(Wenn auf "symmetrisch" verzichtet wird, sind das offensichtlich genau
die ganz-algebraischen Zahlen.)


Viele Grüße Jan
 

Lesen sie die antworten

#1 Detlef Müller
26/02/2014 - 14:31 | Warnen spam
On 25.02.2014 22:14, Jan Fricke wrote:
Hallo,
der andere Thread bringt mich zu folgender Frage:

Welche reellen Zahlen sind als Eigenwerte einer *symmetrischen*
ganzzahligen Matrix möglich?

(Wenn auf "symmetrisch" verzichtet wird, sind das offensichtlich genau
die ganz-algebraischen Zahlen.)



Über eine verwandte Thematik gibt es einen Artikel:

"Eigenwerte und Minimalpolynome symmetrischer Matrizen in kommutativen
Körpern",
Fred Krakowski, Commentarii Mathematici Helvetici
1957/58, Volume 32, Issue 1, pp 224-240
(http://link.springer.com/article/10...BF02564580).

Hier wird untersucht, welche Elemente aus dem algebraischen
Abschluß eines Körpers K als Eigenwerte symmetrischer
Matrizen mit Eintràgen in K auftauchen.

Im 2x2-Fall hàtten wir Charakteristische Polynome der Form
det([a-t,b],[b,c-t]), mit der Substitution t -> t+a können
wir oBdA die Gestalt
det([-t,b],[b,c-t]) = t^2-c t-b^2
annehmen.

Die Eigenwerte müssten dann (c +- sqrt(c^2+4b^2))/4
b,c ganzzahlig, genügen ...
modulo 4 ist c^2 stets 0 oder 1, ziehen wir nun so oft
wie möglich den Faktor 4 vor die Wurzel, steht darunter
noch ein Term der Gestalt r^2+s^2, r,s ganzzahlig, der
dann 0, 1 oder 2 modulo 4 sein kann, niemals aber 3.

Somit ist z.B. sqrt(3) kein Eigenwert einer symmetrischen
ganzzahligen 2x2-Matrix ...
Mit etwas "Experimentalmathematik", im Anhang einige
Eigenwerte von 2x2-Matrizen bestàtigt sich das.

Bei allgemeinen Matrix-Dimensionen werden wohl subtilere Methoden
als dieser "Holzhammer"-Ansatz mit Variablen nötig
werden.

Gruß,
Detlef


Mal eine Auswahl von Eigenwerten
zufàllig gewàhlter ganzzahliger Matrizen mit
Eintràgen von 0 bis 19 mit dem CAS Maxima
bestimmt:

a:random(20)$ b:random(20)$ c:random(20)$
for i:1 thru 20 do (
print(radcan(eigenvalues(matrix([a,b],[b,c])))),
a:random(20), b:random(20), c:random(20)
);

[7-sqrt(2)*sqrt(53),sqrt(2)*sqrt(53)+7]
[-(sqrt(5)*sqrt(17)-21)/2,(sqrt(5)*sqrt(17)+21)/2]
[4-3*sqrt(2)*sqrt(13),3*sqrt(2)*sqrt(13)+4]
[10-sqrt(89),sqrt(89)+10]
[13]
[-(sqrt(61)-21)/2,(sqrt(61)+21)/2]
[11-sqrt(113),sqrt(113)+11]
[-(sqrt(5)*sqrt(37)-13)/2,(sqrt(5)*sqrt(37)+13)/2]
[-(sqrt(281)-25)/2,(sqrt(281)+25)/2]
[-(5*sqrt(37)-21)/2,(5*sqrt(37)+21)/2]
[14-3*sqrt(2),3*sqrt(2)+14]
[9-5*sqrt(13),5*sqrt(13)+9]
[9-sqrt(97),sqrt(97)+9]
[-(sqrt(137)-11)/2,(sqrt(137)+11)/2]
[12-sqrt(113),sqrt(113)+12]
[-12,20]
[-(sqrt(29)*sqrt(37)-19)/2,(sqrt(29)*sqrt(37)+19)/2]
[11-sqrt(113),sqrt(113)+11]
[-(sqrt(313)-19)/2,(sqrt(313)+19)/2]
[6-sqrt(2)*sqrt(157),sqrt(2)*sqrt(157)+6]

Gruß,
Detlef

Viele Grüße Jan




Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

Ähnliche fragen