Eigenwerte => Graph

23/02/2014 - 23:43 von Robert Hartmann | Report spam
Hallo zusammen,

nachdem es mir heute nicht gelungen war, einen Graphen zu bauen,
dessen Eigenwerte und Eigenvektoren tatsàchlich
leicht ohne technische Hilfsmittel in wenigen Schritten zu
berechnen gewesen wàren,

frage ich mich, ob ich die Aufgabe von der Mitte aus produzieren könnte.

Also ich suche nun einen Graphen, der zu den Eigenwerten "passt";
um diesen dann als eigentliche Aufgabe dem Kurs zu stellen.

Idee:
Definiere n _verschiedene_ Eigenwerte.
(z.B. w1 = 1; w2=(1-i); w3=(1+i); w4=-1)

Ich suche nun n Eigenvektoren e1, ... , en, so dass
mit
S die Matrix der Eigenvektoren,
S' die inverse Matrix zu S,
W die Matrix der Eigenwerte

SWS' = A eine n x n Matrix wird,
deren Eintràge nur *natürliche* Zahlen einschließlich Null sind.
(Die Matrix A soll ja als Adjazenz-Matrix einen Graphen repràsentieren,
daher müssen die Eintràge auf nat.Zahlen beschrànkt sein.)


Annahme:
Die Eigenvektoren von A mit Namen e1 und e4 làgen schon linear
unabhàngig von einander in N^4.
z.B. möglichst einfach:
e1 = (1,0,0,0) t (transponiert)
e4 = (0,0,0,1) t (transponiert)

Frage:
Wie müssen dann die Eigenvektoren e2 und e3 aussehen, die sicherlich
komplex-wertige Komponenten-Eintràge haben?

Überlegung:
Ich setze die erste und vierte Komponente der Eigenvektoren e2 und e3
auf Null, in der Hoffnung die Berechnung nun einfacher zu haben:
e2 = ( 0,x1,x2,0)
e3 = ( 0,y1,y2,0)

x1,x2,y1,y2 sind unbekannte i.A. komplexe Zahlen, deren Werte
nun noch zu bestimmen sind.

Notiz:
Sei

S = [
1 0 0 0
0 x1 y1 0
0 x2 y2 0
0 0 0 1 ]

Da S invertierbar sein soll, ist es nun sinnvoll S zu invertieren,
um Werte zu finden, die x1, x2, y1, y2 nicht annehmen können dürfen.

Aus S folgt ihre Inverse
S' = [
s11 s12
s21 s22 ]

mit

s11 = ((1/x1) + (x2/(x1y2-x2y1))(y1/x1))
s12 = - y1/(x1y2-x2y1)
s21 = -x2/(x1y2-x2y1)
s22 = x1/(x1y2-x2y1)

=> für gültige Werte von x1,x2,y1,y2 muss gelten
x1 <> 0 und x1y2 <> x2y1

mhm
 

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#1 Hans-Peter Diettrich
24/02/2014 - 00:28 | Warnen spam
Robert Hartmann schrieb:
Hallo zusammen,

nachdem es mir heute nicht gelungen war, einen Graphen zu bauen,
dessen Eigenwerte und Eigenvektoren tatsàchlich
leicht ohne technische Hilfsmittel in wenigen Schritten zu
berechnen gewesen wàren,

frage ich mich, ob ich die Aufgabe von der Mitte aus produzieren könnte.

Also ich suche nun einen Graphen, der zu den Eigenwerten "passt";
um diesen dann als eigentliche Aufgabe dem Kurs zu stellen.



Eine Frage an den Kursleiter:
Welche Relevanz haben diese Berechnungen im Kontext von Graphen?

DoDi

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