Eigenwerte spezieller Matrixform

08/01/2010 - 11:45 von Lia Green | Report spam
Hallo,

ich kàmpfe seit einiger Zeit mit der folgenden 2nx2n Matrix, nennen
wir sie L:

0 I
A B

wobei die einzelnen Blöcke jeweils nxn sind. 0 ist die Nullmatrix, I
ist die Einheitsmatrix, A eine Diagonalmatrix mit nichtpositiven
Eintràgen und B eine symmetrische Matrix mit nichtpositiven
Eigenwerten. Ich möchte von der Gesamtmatrix die Eigenwerte analytisch
bestimmen, oder wenigstens Aussagen über ihre Vorzeichen machen
können. Der Aufbau dieser Matrix ist eigentlich so speziell, dass es
dazu irgendwas geben muss, was ich bloß nicht finden kann, oder irre
ich mich?

Es gilt ja, wenn man B=UB'U^T zerlegt: det(tI-A)=prod(t-a_ii) und det
(tI-B)=prod(t-b'_ii), i=1...n. Für die Gesamtmatrix gilt det(tI-L)=det
(t^2I+tB+A)=prod(t-lambda_i)=0, i=1...2n. Ich darf wahrscheinlich
nicht einfach einen Vergleich machen und eine quadratische Matrix
machen, oder?

Etwas Ähnliches habe ich in der Literatur gefunden, für den Fall dass
A=B beides symmetrische Matrizen sind. Dann ergibt sich det(t^2I+(1+t)
A)=0 für die char. Gleichung. Daraufhin wird dann aber tatsàchlich mit
det(tI+A)=prod(t-s_i) (mit s EW von A) verglichen und daraus
gefolgert, dass det(t^2I+(1+t)A)=prod(t^2-(1+t)s_i) gefolgert. Warum
darf das gemacht werden? Gibt es irgendwo eine Regel, nach der
Determinanten einfach fröhlich ineinander eingesetzt werden dürfen?

Eine andere Idee von mir, gibt es vielleicht eine Möglichkeit, die
oben beschriebene Matrix in die Form

A B
0 I

"umzuklappen"? Was passiert dann mit den Eigenwerten?

Vielen Dank und viele Grüße
Lia
 

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#1 Alfred Flaßhaar
08/01/2010 - 15:37 | Warnen spam
Lia Green wrote:



(...)

ist die Einheitsmatrix, A eine Diagonalmatrix mit nichtpositiven
Eintràgen und B eine symmetrische Matrix mit nichtpositiven
Eigenwerten.


^^^^^^^^^^^^
Sicherheitshalber nachgefragt: "Eigenwerte" oder "Matrixelemente"? Wie sehen
die Matrixeintràge aus (Vorzeichen, Größenordnung des Betrages)? Wie groß
ist n? Welchen Hintergrund hat die Aufgabe?

Ich möchte von der Gesamtmatrix die Eigenwerte analytisch
bestimmen,



(...)

Wenn Du die Eigenwerte in jedem Fall benötigst, dann lohnt es sich
angesichts der heute verfügbaren Rechentechnik nicht, das charakteristische
Polynom zu entwickeln. Das müßte dann ja auch numerisch behandelt werden.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

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