Ein albernes Spiel

02/12/2014 - 10:06 von WM | Report spam
Die Cantorianer behaupten: Zeige mir eine vollstàndige Liste aller reellen Zahlen, und ich werde dir eine fehlende reelle Zahl nennen.
Gegenbehauptung: Nenne mir eine reelle Zahl, die angeblich in der Liste fehlt, und ich werde sie in die Liste schreiben.
Dann folgen Behauptung und Gegenbehauptung mit wachsender Frequenz.

The winner is ... der am làngeren Hebel sitzt. Zumindest wenn die Behauptung "in jeder Liste fehlt eine reelle Zahle" mit der Behauptung "ES gibt mehr reelle als natürliche Zahlen" identifiziert wird - wie das die Cantorianer gern tun.

Niemals in der Geistesgeschichte der Menschheit und vermutlich auch niemals sonst hat ein derart simpler Fehler eine so enorme Wirkung hervorgerufen: Die transfinite Mengenlehre, angeblich "die Grundlage aller Mathematik". Doch das messbare Ergebnis ist mager. In Wirklichkeit gibt es keine einzige Anwendung dieser Lehre, weder in der Mathematik, noch in anderen Wissenschaften.

Übrigens, eine Ziffernfolge, also eine Reihe von Dezimalbrüchen bezeichnet niemals eine Irrationalzahl. Zum einen, weil die unendliche Folge nicht komplett genug sein kann (zu *jeder* Definition gehört ein Endsignal), und zweitens weil n keinen Grenzwert *in* |N erreicht.

Eine streng monoten Reihe oder Partialsummenfolge enthàlt ihren Grenzwert nicht.
Beispiel
SUM_{n in |N] 1/10^n
= ( SUM_{1 =< k =< n} 1/10^k )_{n in |N}
=/= LIM_{k --> oo} SUM_{1 =< k =< n} 1/10^k = 1/9
denn kein Term der komplementàren Folge ( 1/10^n )_{n in |N} ist der Grenzwert.
Für alle n in |N : 1/10^n =/= LIM_{n --> oo} ( 1/10^n ) = 0

Gruß, WM
 

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#1 Helmut Richter
02/12/2014 - 11:33 | Warnen spam
Am 02.12.2014 10:06, schrieb WM:

Die Cantorianer behaupten: Zeige mir eine vollstàndige Liste aller reellen Zahlen, und ich werde dir eine fehlende reelle Zahl nennen.



Nein, das ist keine Behauptung, weil es keine Aussage ist. Die
zugrundeliegende Behauptung ist: in jeder Liste fehlt mindestens eine
reelle Zahl.

Gegenbehauptung: Nenne mir eine reelle Zahl, die angeblich in der Liste fehlt, und ich werde sie in die Liste schreiben.



Das ist auch keine Behauptung. Die zugrundeliegende Behauptung ist: zu
jeder Liste L und jeder in der Liste nicht enthaltenen Zahl x gibt es
eine *andere* Liste L', die alle Elemente von L sowie x enthàlt. Das
bezweifelt niemand. Das steht nicht im Widerspruch zur vorangehenden
Behauptung, weil die Vollstàndigkeit von L' nicht behauptet wird.

Dann folgen Behauptung und Gegenbehauptung mit wachsender Frequenz.



Wozu? Beide haben jeweils *ihre* Behauptung bestàtigt gefunden.

Niemals in der Geistesgeschichte der Menschheit und vermutlich auch niemals sonst hat ein derart simpler Fehler eine so enorme Wirkung hervorgerufen: Die transfinite Mengenlehre, angeblich "die Grundlage aller Mathematik". Doch das messbare Ergebnis ist mager. In Wirklichkeit gibt es keine einzige Anwendung dieser Lehre, weder in der Mathematik, noch in anderen Wissenschaften.



Der "simple Fehler" ist schon 2300 Jahre alt. Euklid meinte die
Unendlichkeit der Menge der Primzahlen beweisen zu können, indem er
sagte: "Zeige mir eine vollstàndige endliche Liste aller Primzahlen, und
ich werde dir eine fehlende Primzahl nennen", ohne zu bedenken, dass,
würde eine genannt, man sie jederzeit zur Liste hinzufügen könnte.
Dass das den Beweis nicht stört, hat Euklid richtig erkannt.

Und nein, ich lasse mich nicht schon wieder auf das alberne Spiel ein.

Helmut Richter

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