Ein neuer Überabzählbarkeitsbeweis

07/12/2013 - 14:56 von WM | Report spam
Wir betrachten eine Abzàhlung aller rationalen Zahlen und bilden die Antidiagonalzahl d = d_1, d_2, ..., d_n, ... Die Menge der Dezimalstellen d_n (Ziffer samt Index)steht in Bijektion mit der Menge der natürlichen Zahlen.

Jede endliche Ziffernfolge d_1, d_2, ..., d_n besitzt unendlich viele Fortsetzungen, zum Beispiel d_1, d_2, ..., d_n, 0, 0, 0, ... oder d_1, d_2, ..., d_n, 1, 1, 1, ... Also existieren in der Abzàhlung bis zu jeder Dezimalstelle d_n von d unendlich viele Zahlen mit derselben Dezimalstellenfolge.

Da die Antidiagonalzahl aber von allen rationalen Zahlen verschieden ist, muss diese Verschiedenheit durch die Verschiedenheit von Dezimalstellen bewirkt werden. Und weil die Dezimalstellen mit endlichen Indizes dazu nicht taugen, muss mindestens eine weitere Dezimalstelle in d existieren. Damit ist die Überabzàhlbarkeit der Folge von Dezimalstellen von d bewiesen. Der Beweis sollte leicht auf jede andere Folge übertragbar sein.

Damit ist gezeigt, dass jede unendliche Menge überabzàhlbar ist.

Gruß, WM
 

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#1 Manfred Ullrich
07/12/2013 - 15:46 | Warnen spam
Am 07.12.2013 14:56, schrieb WM:

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Damit ist gezeigt, dass jede unendliche Menge überabzàhlbar ist.




Das liegt doch in der Natur der Sache, nàmlich dass jede Teilmenge der
unendlichen Menge selbst auch unendlich ist.

Manfred

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