Forums Neueste Beiträge
 

Ein weiteres Argument gegen die billige Annahme unendlicher Mengen

15/06/2011 - 11:27 von Albrecht | Report spam
Sehr geehrte dsm-Leser,

in der Mengentheorie unterscheidet sich eine Menge von einer echten
Klasse dadurch, dass eine Menge durch eine Kardinalzahl in ihrer
Groesse bestimmt ist, eine echte Klasse nicht. Beispielsweise besitzt
in ZF(C) die Menge der natuerlichen Zahlen die Kardinalzahl aleph_0.
Die Menge der natuerlichen Zahlen besitzt in ZF(C) ihre
Existenzberechtigung erst durch das Unendlichkeitsaxiom. Es besagt,
dass mindestens eine unendliche Menge in ZF(C) existiert.

Es wurde von mir nun schon vielfach ausgefuehrt, dass die Annahme,
dass eine unendliche Klasse eine Kardinalzahl besitzt, es also
unendliche Mengen gibt, alogisch ist, da sich daraus eine Antinomie
ableiten laesst: eine Klasse, die sich selbst abzaehlt, wie die
natuerlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., muesste entweder ihre Kardinalzahl
enthalten (Widerspruch, da Folge unbeschraenkt), oder die Menge muss
auf irgendeine mysterioese Art "groesser sein als sie eigentlich ist",
denn nur dann kann die Kardinalzahl ausserhalb ihres abgezaehlten
Bereiches liegen, nur dann kann es in der Menge kein durch deren
Kardinalzahl nummerierbares Element geben (Widerspruch).

Hier ist nun ein neues Argument, dass diese logische Tatsache auf
neuartige und frappante Weise beleuchtet und damit auf der einen Seite
obiges Argument illustriert, auf der anderen Seite aber auch ein
eigenstaendiges Argument fuer die Unzulaessigkeit der Annahme des
Unendlichkeitsaxioms darstellt.

Die Mathematik, das "Reich der Zahlen", wird generell als ein fiktives
Gebiet angesehen in dem nur gewisse Grundannahmen und die durch
bestimmte Ableitungsregeln daraus ableitbaren Saetze gelten.

Um ueber Zahlen zu denken und zu sprechen benutzt man Namen. Die Namen
werden aus Zahlensystemen abgleitet. Das gaengigste Zahlensystem ist
das Dezimalsystem mit zehn Ziffern. Das einfachste Zahlensystem ist
das unaere System mit genau einer Ziffer (z.B. mit der Ziffer "*").
Aufgrund der entsprechenden Regeln ist die Zuordnung zwischen den
Zahlensystemen eindeutig klar, etwa

1 <-> *
2 <-> **
3 <-> ***
...

Als eine Zahl wird hier das angesehen, was die Gemeinsamkeit aller
ihrer Darstellungen ausmacht.

Es gibt unendlich viele Zahlensysteme, da man zu jedem beliebigen
Zahlensystem eine weitere Ziffer hinzunehmen kann und damit ein
weiteres Zahlensystem erhaelt. In jedem solchen Zahlensystem hat jede
Zahl eine eigene Darstellung, einen eigenen Namen. Die Namen einer
bestimmten Zahl unterscheiden sich in unterschiedlichen Zahlensystemen
in der Regel. Es gibt fuer jede Zahl unendlich viele Namen. Eine Zahl
ist dann eindeutig bestimmt, wenn deren Name und das zugehoerige
Zahlensystem eindeutig bestimmt ist. Jede Zahl muss in jedem
Zahlensystem darstellbar sein (die einzige Ausnahme, das Unaersystem,
bestaetigt die Regel).

Nun kann man folgendes Zahlensystem konstruieren: Man nehme alle
Zeichen der Computertastatur, z.B. die 127 Zeichen der ASCII-Codierung
plus Leerzeichen und bringe diese in eine Reihenfolge. Das Leerzeichen
wird wie ueblich als Trennzeichen eingesetzt. Jede zwischen zwei
Leerzeichen befindliche Folge von ASCII-Zeichen bedeutet nun nach den
Regeln eines Stellensystems eine ganz bestimmte Zahl im "ASCII-
System".

Auch die ASCII-Zeichenfolge "aleph_0" ist eine Zahl - und zwar eine
natuerliche Zahl. Jede mit der Computertastatur ausdrueckbare
Zeichenfolge ist nun eine natuerliche Zahl. Dies hat aber zur Folge,
dass man mit der Computertastatur keinen Namen fuer die Kardinalitaet
der Klasse der natuerlichen Zahlen ausdruecken kann. Jeder
entsprechende Ausdruck ist als Name fuer eine natuerliche Zahl schon
vergeben. Es gibt nicht genuegend Namen um zusaetzlich zu jeder
natuerlichen Zahl auch noch die erste transfinite Kardinalzahl zu
benennen. Es fehlt genau der eine Name dafuer. (Fuer die hoeheren
transfiniten Kardinalzahlen aleph_1, aleph_2, ... fehlen natuerlich
auch und erst recht die Namen.)
Wir haben zwar unendlich viele Namen, aber genau einen Namen zuwenig,
um die Kardinalzahl der Menge dieser Namen zu benennen.

Nun mag einer auf die Idee kommen den Zeichensatz eben um ein Zeichen
zu vergroessern um aleph_0 mit diesem zusaetzlichen Zeichen zu
benennen. Aber auch zu diesem erweiterten Zeichensatz gibt es ein
entsprechendes Stellensystem und der entsprechende Name von aleph_0
ist darin auch wieder nur ein Name fuer eine natuerliche Zahl und es
bleibt kein Name uebrig. Dies gilt fuer jeden finiten Zeichensatz.

Die schlichte Wahrheit ist, dass wir nur abzaehlbar viele Namen zur
Verfuegung haben. Da es abzaehlbar viele natuerliche Zahlen gibt kann
man jedem denkbaren Namen eineindeutig eine natuerliche Zahl zuordnen
und damit alle Namen und Zahlen "aufbrauchen". Und ploetzlich sind
transfinite Zahlen wie von Geisterhand undenkbar geworden.

In unserem endlichen Universum (faktisch wie auch fiktional endlich)
ist kein Platz fuer eine Zahl nach allen natuerlichen Zahlen. Eine
solche Zahl laesst sich nicht konsistent denken, da ihre Existenz vom
Blickwinkel abhaengt: der eine meint sie zu sehen, der andere sieht
sie nicht. Aber nicht weil er blind ist, sondern weil sie eben in
seinem Denkuniversum nicht da sein kann. Eine solche transfinite Zahl
hat keine objektivierbare Existenz. Unser Denkuniversum hat keinen
konsistenten Platz fuer eine "omega+1-te Zahl", fuer eine Zahl die
nach allem kommt, fuer einen "nachunendlichen Gedanken". Eine Zahl die
verschwindet, weil alle Namen von Zahlen aufgebraucht werden koennen
und keine Name mehr uebrig bleibt um diese "Zahl" zu denken ist keine
konsistente Denkmoeglichkeit.

Nach wie vor gilt: Infinitum actu non datur.

(Wenn es denn moeglich waere wuerde mir dies alles evtl. unendlich
Leid tun. Aber ich kann ja auch nichts daran aendern.)

Gruss
Albrecht
 

Lesen sie die antworten

#1 Albrecht
16/06/2011 - 09:58 | Warnen spam
On 15 Jun., 11:27, Albrecht wrote:
Sehr geehrte dsm-Leser,

in der Mengentheorie unterscheidet sich eine Menge von einer echten
Klasse dadurch, dass eine Menge durch eine Kardinalzahl in ihrer
Groesse bestimmt ist, eine echte Klasse nicht. Beispielsweise besitzt
in ZF(C) die Menge der natuerlichen Zahlen die Kardinalzahl aleph_0.
Die Menge der natuerlichen Zahlen besitzt in ZF(C) ihre
Existenzberechtigung erst durch das Unendlichkeitsaxiom. Es besagt,
dass mindestens eine unendliche Menge in ZF(C) existiert.

Es wurde von mir nun schon vielfach ausgefuehrt, dass die Annahme,
dass eine unendliche Klasse eine Kardinalzahl besitzt, es also
unendliche Mengen gibt, alogisch ist, da sich daraus eine Antinomie
ableiten laesst: eine Klasse, die sich selbst abzaehlt, wie die
natuerlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., muesste entweder ihre Kardinalzahl
enthalten (Widerspruch, da Folge unbeschraenkt), oder die Menge muss
auf irgendeine mysterioese Art "groesser sein als sie eigentlich ist",
denn nur dann kann die Kardinalzahl ausserhalb ihres abgezaehlten
Bereiches liegen, nur dann kann es in der Menge kein durch deren
Kardinalzahl nummerierbares Element geben (Widerspruch).

Hier ist nun ein neues Argument, dass diese logische Tatsache auf
neuartige und frappante Weise beleuchtet und damit auf der einen Seite
obiges Argument illustriert, auf der anderen Seite aber auch ein
eigenstaendiges Argument fuer die Unzulaessigkeit der Annahme des
Unendlichkeitsaxioms darstellt.

Die Mathematik, das "Reich der Zahlen", wird generell als ein fiktives
Gebiet angesehen in dem nur gewisse Grundannahmen und die durch
bestimmte Ableitungsregeln daraus ableitbaren Saetze gelten.

Um ueber Zahlen zu denken und zu sprechen benutzt man Namen. Die Namen
werden aus Zahlensystemen abgleitet. Das gaengigste Zahlensystem ist
das Dezimalsystem mit zehn Ziffern. Das einfachste Zahlensystem ist
das unaere System mit genau einer Ziffer (z.B. mit der Ziffer "*").
Aufgrund der entsprechenden Regeln ist die Zuordnung zwischen den
Zahlensystemen eindeutig klar, etwa

1 <-> *
2 <-> **
3 <-> ***
...

Als eine Zahl wird hier das angesehen, was die Gemeinsamkeit aller
ihrer Darstellungen ausmacht.

Es gibt unendlich viele Zahlensysteme, da man zu jedem beliebigen
Zahlensystem eine weitere Ziffer hinzunehmen kann und damit ein
weiteres Zahlensystem erhaelt. In jedem solchen Zahlensystem hat jede
Zahl eine eigene Darstellung, einen eigenen Namen. Die Namen einer
bestimmten Zahl unterscheiden sich in unterschiedlichen Zahlensystemen
in der Regel. Es gibt fuer jede Zahl unendlich viele Namen. Eine Zahl
ist dann eindeutig bestimmt, wenn deren Name und das zugehoerige
Zahlensystem eindeutig bestimmt ist. Jede Zahl muss in jedem
Zahlensystem darstellbar sein (die einzige Ausnahme, das Unaersystem,
bestaetigt die Regel).

Nun kann man folgendes Zahlensystem konstruieren: Man nehme alle
Zeichen der Computertastatur, z.B. die 127 Zeichen der ASCII-Codierung
plus Leerzeichen und bringe diese in eine Reihenfolge. Das Leerzeichen
wird wie ueblich als Trennzeichen eingesetzt. Jede zwischen zwei
Leerzeichen befindliche Folge von ASCII-Zeichen bedeutet nun nach den
Regeln eines Stellensystems eine ganz bestimmte Zahl im "ASCII-
System".

Auch die ASCII-Zeichenfolge "aleph_0" ist eine Zahl - und zwar eine
natuerliche Zahl. Jede mit der Computertastatur ausdrueckbare
Zeichenfolge ist nun eine natuerliche Zahl. Dies hat aber zur Folge,
dass man mit der Computertastatur keinen Namen fuer die Kardinalitaet
der Klasse der natuerlichen Zahlen ausdruecken kann. Jeder
entsprechende Ausdruck ist als Name fuer eine natuerliche Zahl schon
vergeben. Es gibt nicht genuegend Namen um zusaetzlich zu jeder
natuerlichen Zahl auch noch die erste transfinite Kardinalzahl zu
benennen. Es fehlt genau der eine Name dafuer. (Fuer die hoeheren
transfiniten Kardinalzahlen aleph_1, aleph_2, ... fehlen natuerlich
auch und erst recht die Namen.)
Wir haben zwar unendlich viele Namen, aber genau einen Namen zuwenig,
um die Kardinalzahl der Menge dieser Namen zu benennen.

Nun mag einer auf die Idee kommen den Zeichensatz eben um ein Zeichen
zu vergroessern um aleph_0 mit diesem zusaetzlichen Zeichen zu
benennen. Aber auch zu diesem erweiterten Zeichensatz gibt es ein
entsprechendes Stellensystem und der entsprechende Name von aleph_0
ist darin auch wieder nur ein Name fuer eine natuerliche Zahl und es
bleibt kein Name uebrig. Dies gilt fuer jeden finiten Zeichensatz.

Die schlichte Wahrheit ist, dass wir nur abzaehlbar viele Namen zur
Verfuegung haben. Da es abzaehlbar viele natuerliche Zahlen gibt kann
man jedem denkbaren Namen eineindeutig eine natuerliche Zahl zuordnen
und damit alle Namen und Zahlen "aufbrauchen". Und ploetzlich sind
transfinite Zahlen wie von Geisterhand undenkbar geworden.

In unserem endlichen Universum (faktisch wie auch fiktional endlich)
ist kein Platz fuer eine Zahl nach allen natuerlichen Zahlen. Eine
solche Zahl laesst sich nicht konsistent denken, da ihre Existenz vom
Blickwinkel abhaengt: der eine meint sie zu sehen, der andere sieht
sie nicht. Aber nicht weil er blind ist, sondern weil sie eben in
seinem Denkuniversum nicht da sein kann. Eine solche transfinite Zahl
hat keine objektivierbare Existenz. Unser Denkuniversum hat keinen
konsistenten Platz fuer eine "omega+1-te Zahl", fuer eine Zahl die
nach allem kommt, fuer einen "nachunendlichen Gedanken". Eine Zahl die
verschwindet, weil alle Namen von Zahlen aufgebraucht werden koennen
und keine Name mehr uebrig bleibt um diese "Zahl" zu denken ist keine
konsistente Denkmoeglichkeit.

Nach wie vor gilt: Infinitum actu non datur.

(Wenn es denn moeglich waere wuerde mir dies alles evtl. unendlich
Leid tun. Aber ich kann ja auch nichts daran aendern.)





Erinnert irgendwie an das Loewenheim-Skolem-Theorem (LST).

Ich frage mich auch immer wieder, von welchem "Blickpunkt" aus die
Aussage des Theorems eigentlich gemacht wird. LST sagt doch, dass alle
Systeme von Aussagen der Praedikatenlogik erster Stufe, die Modelle
mit ueberabzaehlbaren Domaenen besitzen auch Modelle mit abzaehlbaren
Domaenen besitzen muessen.
Vom Blickpunkt des LST aus muessen doch alle diese abzaehlbaren
Domaenen untereinander in Bijektion gebrachte werden koennen, also
nicht nur relativ sondern absolut zueinander gleichgross sein.
Ansonsten macht die Aussage des LST keinen Sinn.

Damit ist aber die Interpretation, dass Ueberabzaehlbarkeit ein
relativer Begriff ist der nur innerhalb von Modellen Bedeutung hat
etwas komisch. LST sagt ja eben, dass man Mengen auch ueber die
Grenzen von Modellen hinweg miteinander vergleichen kann. Oder nicht?

AS

Ähnliche fragen