Eindeutigkeit der Erweiterung einer Connection auf allgemeine Tensoren

13/10/2007 - 12:51 von Florian Schmidt | Report spam
Hi,

Ich lese seit geraumer Zeit Penrose's "Road to Reality" und mache auch
ausgewaehlte Uebungsaufgaben :) Jetzt grade knabbere ich an der
Eindeutigkeit der Erweiterung einer Connection auf allgemeine Tensoren.

D stehe hier fuer die Connection und d fuer die externe Ableitung.

D f = d f [1]

fuer ein Skalarfeld f, und

D a = d a [2]

fuer ein Kovektorfeld (eine 1-Form).. Weitehin gelten die Leibnitz-regeln

D (T + T') = D T + D T' [3]

fuer beliebige Tensorfelder T, T', und

D (T o T') = T o D T' + (D T) o T' [4]

wobei o fuer eine geeignete Kontraktion steht. Um die Eindeutigkeit zu sehen
gibt Penroses den Tip, sich mal die Wirkung von D auf ein skalares Feld der
Form a o v anzuschauen (a ist 1-Form, v ist Vektorfeld).

D (a o v) = a o D v + (D a) o v [5]

Nun sehen wir wg. [1] und [2], dass eigentlich nur a o D v unbekant ist. Und
davon eigentlich nur D v, denn a ist ja gegeben:

d (a o v) = a o D v + (d a) o v [6]

umgestellt:

d (a o v) - (d a) o v = a o D v [7]

Wenn man sich die "Typen" der einzelnen Terme anschaut, dann faellt auf,
dass alles 1-Formen sind. Meine Idee war es jetzt nochmal mit v zu
kontrahieren:

v o d (a o v) - v o (d a) o v = v o a o D v [8]

aber ich komme da nicht weiter.. Bin ich auf dem vollkommen falschen
Dampfer?

Gruss,
Flo


Palimm Palimm!
http://tapas.affenbande.org
 

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#1 Florian Schmidt
14/10/2007 - 09:37 | Warnen spam
Florian Schmidt wrote:

Nun sehen wir wg. [1] und [2], dass eigentlich nur a o D v unbekant ist.
Und davon eigentlich nur D v, denn a ist ja gegeben:

d (a o v) = a o D v + (d a) o v [6]

umgestellt:

d (a o v) - (d a) o v = a o D v [7]

Wenn man sich die "Typen" der einzelnen Terme anschaut, dann faellt auf,
dass alles 1-Formen sind. Meine Idee war es jetzt nochmal mit v zu
kontrahieren:

v o d (a o v) - v o (d a) o v = v o a o D v [8]

aber ich komme da nicht weiter.. Bin ich auf dem vollkommen falschen
Dampfer?



Ja bin ich, denn die Connection ist ja grade nicht eindeutig bestimmt, wenn
nur ihre Wirkung auf Skalare und 1-Formen gegeben ist. Die Wirkung auf
VEktorfelder ist ja grade das interessante. Sobald diese aber gegeben ist,
sollte die Connection fuer Tensoren hoeheren Rangs eindeutig bestimmt sein.
Werde weiter daran knabbern..

Flo


Palimm Palimm!
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