eine Aufgabe zu Funktionen: Wie sieht das in |Q aus?

08/12/2010 - 22:37 von Martina Eckner | Report spam
Hallo zusammen,

ich helfe gerade jemandem in Analysis, und da gibt es folgende Aufgabe:
Eine Funktion h:[a,b] -> |R ist stetig und auf (a,b) differenzierbar,
und h(a)=0, und für alle Punkte x in (a,b) gilt: h'(x)>0.

Zu zeigen ist, daß h(x)>0 für alle x in (a,b] gilt. OK, es reicht zu
zeigen, daß h(b)>0 ist.

Gut, ich weiß jetzt noch nicht, was bei demjenigen im Skript steht. In
Wirklichkeit geht es bei der Aufgabe auch um zwei Funktionen f und g mit
f(a)=g(a) und f'(x)<g'(x) für alle x in (a,b), und dann soll f(x)<g(x)
für alle x in (a,b] gezeigt werden. Möglicherweise sollte man ja auf die
Idee kommen, die Differenzfunktion h=g-f zu nehmen und dann irgendeinen
Satz anzuwenden.

Aber ich will die Aufgabe ja auch gar nicht genau gelöst haben, sondern
frage mich:

1. Wo genau kommen irgendwelche Eigenschaften der reellen Zahlen zum
Einsatz? Ist das wirklich notwendig, daß man die reellen Zahlen als
Grundlage hat? (Ich vermute mal, ja.)

2. Ich habe vor vielen Jahren mal eine Vortrag über Analysis über |Q
gehört, da gab es so kuriose Funktionen, die stetig und streng monoton
wachsend waren, aber trotzdem überall Ableitung 0 hatten. (Ich hoffe,
ich erinnere mich richtig.) Da wurde stàndig die Abzàhlbarkeit von |Q
ausgenutzt. Gibt es auch Funktionen über (einem Intervall von) |Q, die
stetig und differenzierbar sind und überall positive Ableitung haben,
die aber nicht streng monoton wachsend sind? (Ich denke, mittels der
Abzàhlbarkeit kann man sich was hinbasteln, bin mir aber nicht sicher.)

Mir ist wieder mal klargeworden, daß man mit simpler Anschauung und
Vorstellung in der Mathematik manchmal nicht weiterkommt ;-)

Viele Grüße!
Martina
 

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#1 fiesh
08/12/2010 - 23:31 | Warnen spam
On 2010-12-08, Martina Eckner wrote:
ich helfe gerade jemandem in Analysis, und da gibt es folgende Aufgabe:
Eine Funktion h:[a,b] -> |R ist stetig und auf (a,b) differenzierbar,
und h(a)=0, und für alle Punkte x in (a,b) gilt: h'(x)>0.

Zu zeigen ist, daß h(x)>0 für alle x in (a,b] gilt. OK, es reicht zu
zeigen, daß h(b)>0 ist.

[..]

Aber ich will die Aufgabe ja auch gar nicht genau gelöst haben, sondern
frage mich:



Die Stichworte Zwischenwertsatz und Mittelwertsatz sidn bei solchen
Aufgaben immer ganz angebracht -- und sie brauchen beide R.

1. Wo genau kommen irgendwelche Eigenschaften der reellen Zahlen zum
Einsatz? Ist das wirklich notwendig, daß man die reellen Zahlen als
Grundlage hat? (Ich vermute mal, ja.)



Du musst bedenken, dass z.B. die Funktion x |-> 1, falls x^2<2, 0
andernfalls, ueber Q stetig ist. Dementsprechend waere auch ihre
Stammfunktion (ueber welchem Integrationskalkuel auch immer, ich denke,
es ist klar, welche Funktion ich meine) stetig differenzierbar.

Das beantwortet nicht direkt die Frage, zeigt aber hoffentlich, dass
Stetigkeit ueber Q erstmal nicht viel mit der vermeintlichen Anschauung
zu tun hat.

2. Ich habe vor vielen Jahren mal eine Vortrag über Analysis über |Q
gehört, da gab es so kuriose Funktionen, die stetig und streng monoton
wachsend waren, aber trotzdem überall Ableitung 0 hatten. (Ich hoffe,
ich erinnere mich richtig.) Da wurde stàndig die Abzàhlbarkeit von |Q
ausgenutzt. Gibt es auch Funktionen über (einem Intervall von) |Q, die
stetig und differenzierbar sind und überall positive Ableitung haben,
die aber nicht streng monoton wachsend sind? (Ich denke, mittels der
Abzàhlbarkeit kann man sich was hinbasteln, bin mir aber nicht sicher.)



Auch hier ist das Beispiel denkbar einfach, und man braucht auch nicht
die Abzaehlbarkeit von Q: Sei f(x) := x + 1, falls x < sqrt(2), und
f(x) := x, falls x > sqrt(2). Dann ist f stetig differenzierbar, aber
offensichtlich nicht streng monoton, und die Ableitung ist ueberall
gleich 1.

Mir ist wieder mal klargeworden, daß man mit simpler Anschauung und
Vorstellung in der Mathematik manchmal nicht weiterkommt ;-)



Mathematik versteht man nicht, an Mathematik gewoehnt man sich ;)

fiesh

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