Eine merkwürdige Gleichheit

28/03/2008 - 21:42 von Anonymous | Report spam
Sei alfa:=2*Pi/7 = 360°/7. Dann ist cos(alfa)+cos(2*alfa)+cos(3*alfa)
= -0.5. Laut Maple ist das Resultat sogar = -1/2. Das sieht nach einem
exakten Resultat aus. Gibt es dafür einen Beweis ? Für Hinweise vielen
Dank zum voraus !

D. Koller
Zürich
 

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#1 Thomas Nordhaus
28/03/2008 - 23:36 | Warnen spam
schrieb:
Sei alfa:=2*Pi/7 = 360°/7. Dann ist cos(alfa)+cos(2*alfa)+cos(3*alfa)
= -0.5. Laut Maple ist das Resultat sogar = -1/2. Das sieht nach einem
exakten Resultat aus. Gibt es dafür einen Beweis ? Für Hinweise vielen
Dank zum voraus !



cos(n*alpha) ist der Realteil von exp(i*n*alpha) = p^n mit p =
exp(i*alpha). Jetzt ist Summe [k=0..6] p^k = (1-p^7)/(1-p) = 0 da p^7 =
1. Andererseits ist (wegen Symmetrie) p + p^2 + p^3 = p^6 + p^5 + p^4
und p^0 = 1. Also: 0 = 1 + 2*(p+p^2+p^3).

Thomas Nordhaus

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