Eine nette Integral-Miniatur

17/03/2009 - 11:32 von Armin Saam | Report spam
Es sei f(x) = 1/(1 + (tan x)^a) und F(a) = int[0pi/2] f(x)dx.

Zeige:
1) F(a) = F(a + pi*e*k) für alle a und alle ganzen Zahlen k, das heißt: F
ist periodisch
2) F hat bei a = pi/7 + sqrt(e) ein Maximum.
3) F hat bei a = e/7 + sqrt(pi) ein Minimum.

Erstaunlich, oder?

Wer sich an die Lösung des Problems begeben möchte, besorge sich zunàchst
ausreichend Papier (mindestens ein DIN-A5-Blatt!).

Beste Grüße
Armin Saam
 

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#1 Jutta Gut
17/03/2009 - 13:52 | Warnen spam
"Armin Saam" schrieb im

Es sei f(x) = 1/(1 + (tan x)^a) und F(a) = int[0pi/2] f(x)dx.

Zeige:
1) F(a) = F(a + pi*e*k) für alle a und alle ganzen Zahlen k, das heißt: F
ist periodisch
2) F hat bei a = pi/7 + sqrt(e) ein Maximum.
3) F hat bei a = e/7 + sqrt(pi) ein Minimum.

Erstaunlich, oder?



Ich habe f(x) für ein paar verschiedene a geplottet, und es sieht so aus,
als ob alle diese Kurven zu (pi/4, 1/2) symmetrisch sind. Sie gehen auch
alle durch (0, 1) und (pi/2, 0), also müsst doch das Integral immer den
selben Wert haben (nàmlich pi/4). Was habe ich missverstanden?

Grüße
Jutta

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